Ripasso generale ed energia potenziale

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1. Ripasso: cinematica

Le due definizioni di base e lo schema "integro per risalire":

$$v = \frac{ds}{dt}, \qquad a = \frac{dv}{dt}$$

Integrando $a$ si ricava $v$, integrando $v$ si ricava $s$. I due casi notevoli (dettagli in Legge oraria, moto uniforme, acc… e Formule del moto uniformemente a…):

	Moto uniforme ($a = 0$)	Moto uniformemente accelerato ($a$ costante)
Velocità	$v(t) = v_0$	$v(t) = v_0 + at$
Posizione	$s(t) = s_0 + v_0 t$	$s(t) = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$

Relazione senza il tempo. Combinando $dt = \dfrac{ds}{v}$ con $a = \dfrac{dv}{ds}\,v$ si ottiene $a\,ds = v\,dv$, e integrando:

$$\int_{s_0}^{s} a\,ds = \int_{v_0}^{v} v\,dv \;\Longrightarrow\; \int_{s_0}^{s} m\,a\,ds = W = \Delta K$$

Riconosciamo qui il teorema dell'energia cinetica: la cinematica e l'energia sono due facce della stessa medaglia.

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2. Ripasso: dinamica ed energia

I tre principi di Newton (dettagli in Formule del moto uniformemente a… e Terzo principio della dinamica e…):

1. Inerzia: un corpo isolato mantiene la sua velocità.
2. $F = ma \;\Rightarrow\; a = \dfrac{F}{m}$.
3. Azione e reazione: $\vec F_{21} = -\vec F_{12}$.

Energia (dettagli in Forze inclinate, lavoro ed energ…):

$$dW = \vec F\cdot d\vec s = F\,ds\cos\theta, \qquad W = \int dW = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \Delta K$$

Gravità (dettagli in Terzo principio della dinamica e… e Forza peso, reazione vincolare e…):

$$F = G\frac{Mm}{r^2}, \qquad g = G\frac{M}{r^2} \approx 9{,}8 \approx 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}, \qquad P = mg$$

Reazioni vincolari e attrito (dettagli in Forza peso, reazione vincolare e…): la normale $N$ è perpendicolare al vincolo; l'attrito è opposto al movimento,

$$F_a = \mp\mu N, \qquad F_{as,max} = \mu_s N, \qquad F_{ad} = \mu_d N$$

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3. La novità: l'energia potenziale

Finora abbiamo calcolato il lavoro delle forze conservative (peso ed elastica) caso per caso. Ora gli diamo una struttura unica con l'energia potenziale.

3.1 Forze conservative e $W = -\Delta U$

Una forza è conservativa quando il suo lavoro dipende solo dai punti iniziale e finale, non dal percorso (come visto in Lavoro della forza peso, piano i… per il peso). Per una forza conservativa si può definire una funzione $U$, l'energia potenziale, tale che il lavoro sia pari alla diminuzione di $U$:

$$\boxed{\;W = -\Delta U = U_{iniziale} - U_{finale}\;}$$

Il segno meno ha un significato fisico preciso: quando la forza compie lavoro positivo (per esempio il peso che fa cadere un corpo), l'energia potenziale diminuisce, trasformandosi in energia cinetica. $U$ è dunque energia "immagazzinata", pronta a diventare movimento.

3.2 I due casi concreti

Energia potenziale gravitazionale. Il lavoro del peso è $W_P = mgh$ quando il corpo scende di un dislivello $h$ (vedi Lavoro della forza peso, piano i…). Scrivendolo come $-\Delta U$ si ottiene:

$$\boxed{\;U_{grav} = mgh\;}$$

(con $h$ la quota rispetto a un livello di riferimento scelto). Più in alto è il corpo, più energia potenziale ha.

Energia potenziale elastica. Il lavoro della forza elastica è $W = \tfrac{1}{2}kx_0^2 - \tfrac{1}{2}kx^2$ (vedi Potenza, energia spesa e forza e…). Confrontando con $-\Delta U$:

$$\boxed{\;U_{el} = \frac{1}{2}kx^2\;}$$

è l'energia immagazzinata in una molla deformata di $x$.

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4. Problema d'esame (9/2/26)

Un corpo di massa $m = 2\ \text{kg}$ è spinto su un piano orizzontale da una forza $F = 80\ \text{N}$ inclinata di $\alpha = 30°$ verso il basso. Sul tratto $\overline{AB} = 1{,}5\ \text{m}$ c'è attrito $\mu_d = 0{,}6$; in $B$ inizia un piano inclinato di $\theta = 60°$ che scende fino a $C$, con dislivello $h = 2\ \text{m}$. Domande: (a) $N$ in $AB$; (b) $a$ in $AB$; (c) lavoro di $F$ in $AB$; (d) $v$ in $B$; (e) $v$ in $C$.

4.1 (a) Reazione normale in AB

La forza $F$ è inclinata verso il basso, quindi la sua componente verticale $F\sin\alpha$ si somma al peso, premendo di più il corpo sul piano. Equilibrio verticale:

$$N - P - F\sin\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; N = mg + F\sin\alpha = 2\cdot 10 + 80\cdot 0{,}5 = 60\ \text{N}$$

4.2 (b) Accelerazione in AB

Equilibrio orizzontale, con l'attrito dinamico $F_a = \mu_d N$ opposto al moto:

$$F\cos\alpha - F_a = ma \;\Longrightarrow\; a = \frac{F\cos\alpha - \mu_d N}{m} = \frac{80\cdot 0{,}866 - 0{,}6\cdot 60}{2} = \frac{69{,}3 - 36}{2} \approx 17\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

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Riepilogo

• Ripasso: cinematica ($v = ds/dt$, $a = dv/dt$, moto uniforme e uniformemente accelerato), dinamica (3 principi), energia ($W = \Delta K$), gravità ($P = mg$), attrito ($F_a = \mu N$).
• Forza conservativa: lavoro indipendente dal percorso; si può definire l'energia potenziale con $W = -\Delta U$.
• Energia potenziale gravitazionale: $U_{grav} = mgh$.
• Energia potenziale elastica: $U_{el} = \tfrac{1}{2}kx^2$.
• Da $\Delta K = -\Delta U$ segue $\Delta(K+U) = 0$: anticipazione della conservazione dell'energia meccanica.
• Forza inclinata verso il basso: $N = mg + F\sin\alpha$ (aumenta l'attrito).