Potenza, energia spesa e forza elastica

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1. La potenza

Il lavoro misura l'energia trasferita; la potenza misura quanto velocemente viene trasferita. È il lavoro compiuto nell'unità di tempo:

$$P = \frac{dW}{dt}$$

Poiché $dW = \vec F\cdot d\vec s$, e $\dfrac{d\vec s}{dt} = \vec v$:

$$P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec F\cdot d\vec s}{dt} = \vec F\cdot\vec v$$ $$\boxed{\;P = \vec F\cdot\vec v\;}$$

La potenza istantanea è il prodotto scalare tra forza e velocità: a parità di forza, più si va veloci più potenza serve.

1.1 Dimensioni e unità

Grandezza	Dimensione	Unità SI
Forza	$[M]\dfrac{[L]}{[T]^2}$	$\text{kg}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} = \text{N}$ (newton)
Lavoro	$[M]\dfrac{[L]^2}{[T]^2}$	$\text{kg}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = \text{J}$ (joule)
Potenza	$[M]\dfrac{[L]^2}{[T]^3}$	$\text{kg}\,\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^3} = \text{W}$ (watt)

Un watt è un joule al secondo: $1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$.

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2. Problema (15/01/2025): energia spesa

Una persona di massa $m = 90\ \text{kg}$ compie tre attività. (1) Bici: $d_1 = 5\ \text{km}$ a $v_1 = 20\ \text{km/h}$. (2) A piedi: $d_2 = 1\ \text{km}$ a $v_2 = 4\ \text{km/h}$ salendo di $h = 300\ \text{m}$. (3) Arrampicata: $d_3 = 30\ \text{m}$ in verticale, in $t_3 = 15\ \text{min}$. La potenza "di base" del corpo è $P_0 = 100\ \text{W}$; durante la bici si aggiunge $\tfrac{1}{2}P_0$, a piedi $2P_0$, in arrampicata $6P_0$. Quanta energia spende in ciascuna attività?

L'energia spesa è $W = P\cdot t$ (potenza metabolica per tempo), a cui si aggiunge il lavoro contro la gravità $mgh$ quando si sale.

(1) Bici. Potenza $P_1 = P_0 + \tfrac{1}{2}P_0 = \tfrac{3}{2}P_0 = 150\ \text{W}$. Tempo $t_1 = \dfrac{d_1}{v_1} = \dfrac{5}{20} = 0{,}25\ \text{h} = 900\ \text{s}$. Su strada piana non c'è dislivello:

$$W_1 = P_1\,t_1 = 150\cdot 900 = 135\,000\ \text{J} = 135\ \text{kJ} \approx 30\ \text{kcal}$$

(2) A piedi (in salita). $P_2 = P_0 + 2P_0 = 3P_0 = 300\ \text{W}$. Tempo $t_2 = \dfrac{d_2}{v_2} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{h} = 900\ \text{s}$. Qui si sale di $h = 300\ \text{m}$, quindi va aggiunto $mgh$:

$$W_2 = P_2\,t_2 + mgh = 300\cdot 900 + 90\cdot 10\cdot 300 = 270\,000 + 270\,000 = 540\,000\ \text{J} \approx 130\ \text{kcal}$$

(3) Arrampicata. $P_3 = P_0 + 6P_0 = 7P_0 = 700\ \text{W}$. Tempo $t_3 = 15\ \text{min} = 900\ \text{s}$. Dislivello $d_3 = 30\ \text{m}$ in verticale:

$$W_3 = P_3\,t_3 + mg\,d_3 = 700\cdot 900 + 90\cdot 10\cdot 30 = 630\,000 + 27\,000 = 657\,000\ \text{J} \approx 160\ \text{kcal}$$

2.1 Parte 4: discesa a velocità costante

Dalla quota $y_0 = d_3 + h = 330\ \text{m}$, la persona scende con velocità orizzontale $v_x = 3\ \text{m/s}$ e velocità verticale costante $v_y = -0{,}2\ \text{m/s}$ (discesa controllata, per esempio in parapendio). Quanto spazio orizzontale percorre?

Qui entrambi i moti sono uniformi (velocità costanti, non c'è caduta libera). Il tempo per arrivare a terra si trova dalla legge verticale $y = y_0 + v_y\,t$, imponendo $y = 0$:

$$t_v = -\frac{y_0}{v_y} = -\frac{330}{-0{,}2} = 1650\ \text{s}$$

e la distanza orizzontale è

$$d = v_x\,t_v = 3\cdot 1650 = 4950\ \text{m} \approx 5\ \text{km}$$

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3. La forza elastica

Una molla compressa o allungata reagisce con una forza che tende a riportarla alla forma di riposo. È un caso di reazione vincolare che schematizza la forza con cui un oggetto reagisce a una deformazione rispetto alla sua forma a riposo.

3.1 La legge di Hooke

Sia $l_0$ la lunghezza a riposo della molla e $l$ la sua lunghezza deformata. La deformazione è

$$x = l - l_0$$

La reazione alla deformazione, la forza elastica, è data dalla legge di Hooke:

$$\boxed{\;F_e = -k\,x\;}$$

dove:

• $x$ è la deformazione (in metri);
• $k$ è la costante elastica della molla (in N/m), che misura quanto è "dura";
• il segno meno indica che la forza è di richiamo: è sempre opposta alla deformazione, cioè punta verso la posizione di riposo.

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4. Il lavoro della forza elastica

Calcoliamo il lavoro fatto dalla forza elastica quando la deformazione passa da $x_A$ a $x_B$. Poiché $F_e$ dipende da $x$, integriamo. Su un tratto infinitesimo $dx$ possiamo considerare $F_e$ costante, quindi $dW = F_e\,dx = -kx\,dx$:

$$W_{AB} = \int_A^B F_e\,dx = \int_A^B (-kx)\,dx = -k\left[\frac{x^2}{2}\right]_A^B$$ $$\boxed{\;W_{AB} = \frac{1}{2}k\,x_A^2 - \frac{1}{2}k\,x_B^2\;}$$

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5. Problema (3/11/2025): compressione massima di una molla

Riprendiamo il blocco del Lavoro della forza peso, piano i… che arriva in fondo allo scivolo con $v_C = 4{,}3\ \text{m/s}$ ($m = 1{,}3\ \text{kg}$) e urta una molla di costante $k = 200\ \text{N/m}$. Qual è la compressione massima della molla?

Man mano che la molla si schiaccia, la reazione elastica cresce proporzionalmente alla deformazione, finché ferma il blocco. Nel punto di massima compressione $x_{max}$ la velocità è nulla: tutta l'energia cinetica del blocco si è trasformata in energia potenziale elastica della molla.

$$\frac{1}{2}m\,v_C^2 = \frac{1}{2}k\,x_{max}^2$$ $$x_{max} = \sqrt{\frac{m\,v_C^2}{k}} = \sqrt{\frac{1{,}3\cdot 4{,}3^2}{200}} = \sqrt{\frac{24{,}0}{200}} \approx 0{,}35\ \text{m}$$

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Riepilogo

• Potenza: $P = \dfrac{dW}{dt} = \vec F\cdot\vec v$. Unità: watt ($1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$).
• Energia spesa: $W = P\,t$, più $mgh$ se si sale. Conversione: $1\ \text{kcal} = 4184\ \text{J}$.
• Forza elastica (legge di Hooke): $F_e = -kx$, di richiamo verso la posizione di riposo; $k$ in N/m.
• Lavoro della forza elastica: $W = \tfrac{1}{2}k\,x_A^2 - \tfrac{1}{2}k\,x_B^2$. La forza elastica è conservativa.
• Energia potenziale elastica: $U = \tfrac{1}{2}kx^2$, immagazzinata in una molla deformata.
• Compressione massima: uguagliando energia cinetica ed elastica, $x_{max} = \sqrt{m\,v^2/k}$.