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Terzo principio della dinamica e gravitazione universale

Il principio di azione e reazione e la legge di gravitazione universale, da cui si ricava l'accelerazione di gravità terrestre g.

In questa lezione

Il terzo principio della dinamica: azione e reazione
La legge di gravitazione universale $F = G\dfrac{m_A m_B}{r^2}$ e la costante $G$
Perché la forza va come $1/r^2$ : l'intuizione della superficie della sfera
La gravità terrestre: da dove viene $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e perché la Terra non accelera in modo apprezzabile verso di noi
Quanto è debole la gravità tra due corpi ordinari

1. I tre principi della dinamica

Raccogliamo i tre principi che reggono tutta la meccanica:

Principio di inerzia. Un corpo isolato mantiene la sua velocità (resta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme).
Secondo principio. $F = m\,a$ : la forza è la causa, l'accelerazione l'effetto, la massa la costante di proporzionalità.
Principio di azione e reazione (la novità di oggi).

1.1 Terzo principio: azione e reazione

Terzo principio. Se un corpo esercita una forza su un altro corpo, quest'ultimo esercita sul primo una forza uguale in modulo e opposta in verso.

Indicando con $\vec F_{AB}$ la forza che il corpo $A$ esercita su $B$ e con $\vec F_{BA}$ quella che $B$ esercita su $A$ :

\boxed{\;\vec F_{BA} = -\,\vec F_{AB}\;}

Due osservazioni che evitano gli errori più comuni:

Le due forze agiscono su corpi diversi (una su $A$ , una su $B$ ). Per questo non si annullano a vicenda: ciascun corpo "sente" solo la forza applicata a sé.
Le forze sono sempre in coppia: non esiste una forza isolata, ma sempre un'interazione reciproca tra due corpi.

2. La legge di gravitazione universale

La prima forza fondamentale che studiamo è la gravitazione. Due corpi di massa $m_A$ e $m_B$ , posti a distanza $r$ , si attraggono con una forza diretta lungo la loro congiungente, di modulo

\boxed{\;F = G\,\frac{m_A\,m_B}{r^2}\;}

dove $G$ è la costante di gravitazione universale:

G = 6{,}67 \times 10^{-11}\ \frac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}

La forza rispetta il terzo principio: $A$ attira $B$ e $B$ attira $A$ con forze uguali e opposte. È coerente con quanto detto in Formule del moto uniformemente a…: la gravitazione agisce sulle masse ed è solo attrattiva (per questo a volte si scrive con un segno meno, $\vec F = -G\frac{m_A m_B}{r^2}\hat r$ , a indicare che punta sempre verso l'altro corpo).

Perché proprio

$1/r^2$ ? L'intuizione della sfera Immaginiamo l'influenza gravitazionale di una massa che si propaga in tutte le direzioni, distribuendosi sulla superficie di una sfera centrata sulla massa stessa. La superficie di una sfera di raggio $r$ vale $S = 4\pi r^2$ e cresce con il quadrato della distanza. La stessa "quantità di influenza" si spalma quindi su una superficie sempre più grande, e la sua intensità per unità di area diminuisce come $1/r^2$ . È la stessa ragione per cui la luce di una lampadina si affievolisce con il quadrato della distanza.

3. La gravità della Terra

Applichiamo la legge a un caso concreto: un corpo vicino alla superficie terrestre. Chiamiamo $A$ la Terra e $B$ il corpo.

Con i dati della Terra e di un corpo di $80\ \text{kg}$ :

m_A = 6\times 10^{24}\ \text{kg}, \qquad r = 6{,}4\times 10^{6}\ \text{m}, \qquad m_B = 80\ \text{kg}

la forza vale

F = G\,\frac{m_A m_B}{r^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\cdot\frac{6\times 10^{24}\cdot 80}{(6{,}4\times 10^{6})^2} \approx \frac{10^{13}}{10^{12}}\cdot 80 = 10\cdot 80 = 800\ \text{N}

3.1 Da dove viene $g$

Applichiamo ora il secondo principio per trovare l'accelerazione di ciascun corpo. La stessa forza ( $800\ \text{N}$ ) agisce su entrambi, ma le masse sono enormemente diverse.

Sul corpo $B$ :

F = m_B\,a_B \;\Longrightarrow\; a_B = \frac{F}{m_B} = \frac{800}{80} = 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Questa è proprio l'accelerazione di gravità $g$ (più precisamente $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$ ): l'accelerazione con cui ogni corpo cade vicino alla superficie terrestre.

Perché tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione

La massa $m_B$ compare due volte: nella forza ( $F = G\frac{m_A m_B}{r^2}$ , dove fa da "carica gravitazionale") e nel secondo principio ( $a = F/m_B$ , dove fa da inerzia). Quando dividiamo, $m_B$ si semplifica: $a_B = \frac{F}{m_B} = G\,\frac{m_A}{r^2} = g$ Il risultato non dipende da $m_B$ . Ecco perché una piuma e una palla di piombo, in assenza d'aria, cadono con la stessa accelerazione.

Sulla Terra $A$ :

a_A = \frac{F}{m_A} = \frac{800}{6\times 10^{24}} \approx 1{,}3\times 10^{-22}\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

Perché diciamo che "le cose cadono sulla Terra" e non il contrario

Per il terzo principio il corpo attira la Terra con la stessa forza con cui la Terra attira il corpo. Ma la Terra ha una massa $\sim 10^{23}$ volte maggiore, quindi la sua accelerazione è $\sim 10^{23}$ volte più piccola: praticamente nulla. Entrambi "cadono" l'uno verso l'altro, ma il moto della Terra è del tutto impercettibile. È il secondo principio, non la gravità, a rompere la simmetria.

3.2 Caduta libera

Lasciamo cadere il corpo da un'altezza $d = 1\ \text{m}$ , da fermo ( $v_0 = 0$ ). Con la legge oraria del moto uniformemente accelerato (e $a_B = g \approx 10\ \text{m/s}^2$ ), la posizione misurata verso il basso è

x_B(t) = -d + \frac{1}{2}a_B\,t^2

Il corpo tocca terra all'istante $t_d$ in cui $x_B(t_d) = 0$ :

0 = -d + \frac{1}{2}a_B\,t_d^2 \;\Longrightarrow\; t_d = \sqrt{\frac{2d}{a_B}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1}{10}} = \sqrt{0{,}2} \approx 0{,}4\ \text{s}

Un oggetto lasciato cadere da un metro impiega circa mezzo secondo a toccare terra. Nello stesso intervallo la Terra si sposta verso il corpo di una distanza inimmaginabilmente piccola ( $\tfrac12 a_A t_d^2 \sim 10^{-23}\ \text{m}$ ), molto minore delle dimensioni di un atomo.

4. Quanto è debole la gravità tra corpi ordinari

Ultimo esperimento concettuale: due corpi uguali, lontani dalla Terra (nello spazio, così che agisca solo la loro mutua attrazione).

m_A = m_B = 80\ \text{kg}, \qquad d = 100\ \text{m}

La forza con cui si attraggono è

F = G\,\frac{m_A m_B}{d^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\cdot\frac{80\cdot 80}{100^2} = 6{,}67\times 10^{-11}\cdot\frac{6400}{10^4} \approx 4{,}3\times 10^{-11}\ \text{N}

e l'accelerazione di ciascuno è

a = \frac{F}{m} = \frac{4{,}3\times 10^{-11}}{80} \approx 5\times 10^{-13}\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

un valore ridicolmente piccolo.

4.1 Velocità di avvicinamento (metodo senza il tempo)

Per trovare la velocità raggiunta dopo essersi avvicinati, conviene il metodo già usato in Legge oraria, moto uniforme, acc… e Formule del moto uniformemente a…: poiché la forza (e quindi l'accelerazione) dipende dalla distanza $x$ , non dal tempo, scriviamo $a = v\dfrac{dv}{dx}$ e integriamo. Con $a(x) = G\dfrac{m_B}{x^2}$ :

\int a(x)\,dx = \int v\,dv = \frac{1}{2}v(x)^2 - \frac{1}{2}\cdot 0^2

\int \frac{G\,m_B}{x^2}\,dx = -\frac{G\,m_B}{x} = \frac{1}{2}v(x)^2

da cui

\boxed{\;v(x) = \sqrt{\frac{2\,G\,m_B}{x}}\;}

Attenzione ai numeri scritti in aula

Inserendo i valori, in aula il fattore $10^{-11}$ di $G$ è stato lasciato cadere, ottenendo $v \approx \sqrt{20} \approx 4{,}5\ \text{m/s} \approx 18\ \text{km/h}$ . Questo risultato non è corretto. Tenendo l'esponente, per esempio a $x = 50\ \text{m}$ : $v = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\times 10^{-11}\cdot 80}{50}} \approx \sqrt{2{,}1\times 10^{-10}} \approx 1{,}5\times 10^{-5}\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ cioè qualche centesimo di millimetro al secondo. Due persone a cento metri l'una dall'altra nello spazio impiegherebbero ore solo per avvicinarsi di un metro.

4.2 La morale

La gravità è una forza estremamente debole. La sentiamo solo perché la Terra ha una massa colossale ( $\sim 10^{24}\ \text{kg}$ ); tra oggetti di tutti i giorni è del tutto trascurabile. Questo spiega perché nella vita quotidiana non vediamo gli oggetti attrarsi spontaneamente, e perché negli esperimenti di laboratorio la gravità tra corpi ordinari è quasi impossibile da misurare.

Riepilogo

Terzo principio (azione e reazione): $\vec F_{BA} = -\vec F_{AB}$ . Le due forze sono uguali e opposte, ma agiscono su corpi diversi, quindi non si annullano.
Gravitazione universale: $F = G\dfrac{m_A m_B}{r^2}$ , con $G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ . La dipendenza $1/r^2$ si capisce con la superficie della sfera $4\pi r^2$ .
Gravità terrestre: $g = G\dfrac{m_{Terra}}{r^2} \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$ . Non dipende dalla massa del corpo che cade, perché questa si semplifica.
La Terra accelera verso i corpi che cadono, ma in modo impercettibile ( $\sim 10^{-22}\ \text{m/s}^2$ ), a causa della sua enorme massa.
Caduta libera da $d = 1\ \text{m}$ : $t_d = \sqrt{2d/g} \approx 0{,}4\ \text{s}$ .
La gravità tra corpi ordinari è debolissima: due masse da 80 kg a 100 m si attraggono con $\sim 10^{-11}\ \text{N}$ .

Per fissare le idee

Se la forza di azione e reazione è uguale e opposta, perché quando spingi un muro non vieni respinto indietro alla stessa velocità con cui spingi?
Dimostra in generale che l'accelerazione di gravità $g$ non dipende dalla massa del corpo che cade.
La forza gravitazionale tra Terra e Luna è enorme, eppure la Luna non "cade" sulla Terra. Come si concilia con quanto visto? (Ci torneremo studiando il moto circolare.)