Formule del moto uniformemente accelerato e introduzione alla dinamica

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1. Punto di partenza

Riprendiamo le due definizioni che useremo di continuo:

$$v = \frac{dx}{dt}, \qquad a = \frac{dv}{dt}$$

Nel moto uniformemente accelerato l'accelerazione è costante. Da questa sola ipotesi ricaviamo, integrando, prima la velocità e poi la posizione in funzione del tempo. Lo schema è sempre lo stesso: si parte dalla definizione di derivata, la si "inverte" integrando, e si impongono le condizioni iniziali.

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2. Le leggi orarie del moto uniformemente accelerato

2.1 Velocità: $v(t) = v_0 + at$

Partiamo dalla definizione di accelerazione e separiamo i differenziali:

$$a = \frac{dv}{dt} \quad\Longrightarrow\quad dv = a\,dt$$

Integriamo il tempo da $0$ a $t$ e la velocità dal valore iniziale $v_0$ al valore $v(t)$:

$$\int_{v_0}^{v(t)} dv = \int_{0}^{t} a\,dt$$

Poiché $a$ è costante esce dall'integrale:

$$v\Big|_{v_0}^{v(t)} = a\,t\Big|_{0}^{t} \quad\Longrightarrow\quad v(t) - v_0 = a\,t$$

da cui la legge della velocità:

$$\boxed{\;v(t) = v_0 + a\,t\;}$$

2.2 Posizione: $x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2$

Ora che conosciamo $v(t)$, ripetiamo il procedimento partendo dalla definizione di velocità:

$$v = \frac{dx}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \int_{x_0}^{x(t)} dx = \int_{0}^{t} v\,dt = x(t) - x_0$$

Sostituiamo $v = v_0 + at$ e spezziamo l'integrale nei due termini:

$$\int_{0}^{t} (v_0 + at)\,dt = \int_{0}^{t} v_0\,dt + \int_{0}^{t} at\,dt = v_0\int_{0}^{t} dt + a\int_{0}^{t} t\,dt$$

Il primo integrale dà $v_0\,t$; il secondo dà $a\,\dfrac{t^2}{2}$ (poiché l'integrale di $t$ è $\tfrac{t^2}{2}$):

$$v_0\,t\Big|_{0}^{t} + a\,\frac{t^2}{2}\Big|_{0}^{t} = v_0\,t + \frac{1}{2}a\,t^2 = x(t) - x_0$$

da cui la legge oraria:

$$\boxed{\;x(t) = x_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}a\,t^2\;}$$

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3. Problema 1.4 (Mazzoldi): frenata

Un'auto viaggia a $v_0 = 100\ \text{km/h}$ e frena con accelerazione costante $a = -3{,}5\ \text{m/s}^2$ (moto uniformemente accelerato, o meglio decelerato). Trovare: (a) il tempo di arresto $t_a$; (b) lo spazio di arresto $x_a$.

3.1 Conversione delle unità

Prima di tutto portiamo la velocità in unità SI (metri al secondo). Si moltiplica per $1000$ (metri in un km) e si divide per $3600$ (secondi in un'ora):

$$v_0 = 100\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\frac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\cdot\frac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}} = \frac{100}{3{,}6} \approx 27\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

3.2 Tempo di arresto

L'auto si ferma quando la velocità si annulla. Imponiamo $v(t_a) = 0$ nella legge della velocità:

$$v(t_a) = v_0 + a\,t_a = 0 \quad\Longrightarrow\quad t_a = -\frac{v_0}{a} = -\frac{27}{-3{,}5} \approx 7{,}7\ \text{s} \approx 8\ \text{s}$$

(In aula il valore è stato arrotondato a $\approx 7\ \text{s}$; con i numeri esatti si ottiene $27{,}8/3{,}5 \approx 7{,}9\ \text{s}$.)

3.3 Spazio di arresto

Lo spazio percorso fino alla fermata è lo spostamento tra la partenza e l'istante $t_a$:

$$x_a - x_0 = v_0\,t_a + \frac{1}{2}a\,t_a^2 = 27\cdot 7 + \frac{1}{2}(-3{,}5)\cdot 7^2 = 189 - 85{,}75 \approx 103\ \text{m}$$

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4. Problema 1.5 (Mazzoldi): il semaforo

Un'auto viaggia a $v_0 = 80\ \text{km/h}$ e vede il semaforo rosso a distanza $d = 100\ \text{m}$. (a) Quale accelerazione costante serve per fermarsi esattamente al semaforo? (b) Quanto tempo impiega? (c) Se invece il semaforo passa da rosso a verde dopo $6\ \text{s}$, quale accelerazione costante serve per transitare proprio quando scatta il verde? (d) Con il limite di $50\ \text{km/h}$, in questo caso l'auto prende la multa?

Impostazione comune: il moto è uniformemente accelerato, quindi valgono

$$v(t) = v_0 + a\,t, \qquad x(t) = x_0 + v_0\,t + \frac{1}{2}a\,t^2$$

con $v_0 = 80/3{,}6 \approx 22\ \text{m/s}$.

4.1 (a)–(b) Fermarsi al semaforo

Imponiamo le due condizioni: all'istante di arresto $t_d$ la velocità è nulla e lo spazio percorso è esattamente $d$:

$$(1)\quad v(t_d) = v_0 + a\,t_d = 0 \qquad\qquad (2)\quad v_0\,t_d + \frac{1}{2}a\,t_d^2 = d$$

Dalla $(1)$ ricaviamo $a = -\dfrac{v_0}{t_d}$ e lo sostituiamo nella $(2)$:

$$v_0\,t_d + \frac{1}{2}\left(-\frac{v_0}{t_d}\right)t_d^2 = v_0\,t_d - \frac{1}{2}v_0\,t_d = \frac{1}{2}v_0\,t_d = d$$

da cui il tempo (risposta b):

$$t_d = \frac{2d}{v_0} = \frac{2\cdot 100}{80/3{,}6} = \frac{200}{22{,}2} \approx 9\ \text{s}$$

Tornando alla $(1)$ otteniamo l'accelerazione (risposta a):

$$a = -\frac{v_0}{t_d} = -\frac{v_0^2}{2d} = -\frac{22^2}{2\cdot 100} = -\frac{484}{200} \approx -2{,}4\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

(In aula arrotondato a $\approx -2{,}2\ \text{m/s}^2$.) Il segno negativo conferma che si tratta di una decelerazione.

4.2 (c) Transitare quando scatta il verde

Ora l'auto non si ferma: deve percorrere la distanza $d$ in un tempo fissato $t_s = 6\ \text{s}$. Resta valida la legge oraria, con la sola condizione sullo spazio:

$$x(t_s) - x_0 = v_0\,t_s + \frac{1}{2}a\,t_s^2 = d$$

Risolviamo rispetto ad $a$:

$$a = \frac{2\,(d - v_0\,t_s)}{t_s^2} = \frac{2\,(100 - 22\cdot 6)}{36} = \frac{2\,(100 - 132)}{36} = \frac{-64}{36} \approx -1{,}8\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

L'accelerazione è ancora negativa: viaggiando a 80 km/h l'auto arriverebbe troppo presto, quindi deve comunque rallentare per non superare il semaforo prima del verde. (In aula il valore è stato arrotondato a $\approx -1{,}5\ \text{m/s}^2$.)

4.3 (d) Multa o no?

La velocità con cui l'auto transita è quella all'istante $t_s$:

$$v(t_s) = v_0 + a\,t_s = 22 + (-1{,}8)\cdot 6 \approx 11\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Riconvertendo in km/h (moltiplicando per $3{,}6$):

$$v(t_s) \approx 11\cdot 3{,}6 \approx 40\ \frac{\text{km}}{\text{h}} \;<\; 50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$$

La velocità di transito è sotto il limite, quindi niente multa. (Con i valori arrotondati usati in aula, $a \approx -1{,}5\ \text{m/s}^2$, si ottiene $v(t_s) \approx 13\ \text{m/s} \approx 46\ \text{km/h}$: comunque sotto i 50 km/h, stessa conclusione.)

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5. Dinamica: la causa del moto

Con la cinematica sappiamo descrivere il moto. La dinamica affronta la domanda successiva: che cosa lo provoca? La risposta introduce un concetto nuovo, la forza, intesa come misura dell'interazione tra corpi, cioè la causa del moto.

5.1 Primo principio di Newton (principio di inerzia)

Primo principio. Se un corpo è isolato, cioè non interagisce con nessun altro, allora si muove di moto rettilineo uniforme, oppure al più resta fermo.

È il principio di inerzia. In assenza di interazioni la velocità non cambia: restare fermi (velocità nulla) o procedere in linea retta a velocità costante sono, dal punto di vista della dinamica, la stessa situazione. Per modificare la velocità di un corpo, cioè per accelerarlo, serve sempre un'interazione con qualcos'altro.

5.2 Secondo principio di Newton

Secondo principio. La forza è proporzionale all'accelerazione che produce, e la costante di proporzionalità è la massa: $\boxed{\;F = m\,a\;}$

Leggiamo la formula come un legame causa–effetto:

• la forza $F$ è la causa;
• l'accelerazione $a$ è l'effetto prodotto;
• la massa $m$ è la costante di proporzionalità tra causa ed effetto.

La massa misura quindi quanto un corpo "resiste" a farsi accelerare: a parità di forza, un corpo con massa maggiore subisce un'accelerazione minore. È la quantificazione dell'inerzia introdotta dal primo principio.

5.3 Le quattro forze fondamentali

Tutte le interazioni che osserviamo in natura si riconducono a quattro forze fondamentali:

Forza	Agisce sulla / sul	Caratteristica
Gravitazione	massa	solo attrattiva
Elettromagnetica	carica elettrica	attrattiva o repulsiva
Nucleare forte	tiene insieme i nuclei degli atomi	a cortissimo raggio
Nucleare debole	responsabile dei decadimenti (interazioni tra elettroni e nucleo)	a cortissimo raggio

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Riepilogo

• Moto uniformemente accelerato (a costante), ricavato per integrazione:

$$v(t) = v_0 + at, \qquad x(t) = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2, \qquad v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$$

• Conversione: km/h → m/s si divide per $3{,}6$; m/s → km/h si moltiplica per $3{,}6$.
• Conviene sempre fare il controllo dimensionale di una formula prima di fidarsene.
• Problema 1.4 (frenata): da $v_0 = 100\ \text{km/h} \approx 27\ \text{m/s}$ e $a = -3{,}5\ \text{m/s}^2$ si ottengono $t_a \approx 8\ \text{s}$ e $x_a \approx 100\ \text{m}$.
• Problema 1.5 (semaforo): le stesse leggi orarie, con condizioni diverse (fermarsi vs transitare in un tempo dato), danno l'accelerazione e la velocità di transito.
• Dinamica: la forza è la causa del moto.
  • Primo principio (inerzia): un corpo isolato mantiene velocità costante.
  • Secondo principio: $F = ma$, con la massa come costante di proporzionalità.
  • Quattro forze fondamentali: gravitazionale, elettromagnetica, nucleare forte, nucleare debole.