Forze inclinate, lavoro ed energia cinetica

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1. Un corpo si mette in moto? (forza inclinata)

Un corpo di massa $m = 2{,}1\ \text{kg}$ è spinto da una forza $F = 23\ \text{N}$ inclinata di $\alpha = 25°$ sopra l'orizzontale; il coefficiente d'attrito è $\mu = 0{,}45$. Dimostrare che il corpo inizia a muoversi.

Quando una forza è inclinata, il primo passo è sempre scomporla nelle componenti lungo gli assi: $F_x = F\cos\alpha$ (orizzontale, che spinge) e $F_y = F\sin\alpha$ (verticale, che solleva un po' il corpo).

Scriviamo il secondo principio lungo i due assi. Il corpo non si solleva, quindi lungo $y$ l'accelerazione è nulla; lungo $x$ vediamo se la spinta vince l'attrito.

$$y:\quad N - P + F_y = 0 \;\Longrightarrow\; N = P - F\sin\alpha = mg - F\sin\alpha$$ $$N = 2{,}1\cdot 10 - 23\cdot\sin 25° = 21 - 23\cdot 0{,}42 \approx 11\ \text{N}$$

Ora confrontiamo, lungo $x$, la componente motrice con l'attrito statico massimo:

$$F\cos\alpha - F_{as,max} = F\cos\alpha - \mu N = 23\cdot 0{,}91 - 0{,}45\cdot 11 \approx 21 - 5 = 16 > 0$$

La spinta orizzontale ($\approx 21\ \text{N}$) supera nettamente l'attrito statico massimo ($\approx 5\ \text{N}$): il corpo si mette in moto.

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2. Moto con due forze (parte cinematica)

Un corpo di massa $m = 2{,}7\ \text{kg}$ è soggetto a $F_1 = 15\ \text{N}$ (orizzontale) e $F_2 = 20\ \text{N}$ (inclinata di $\alpha = 25°$). Nel tratto $AB$ il piano è liscio; il corpo parte da fermo in $A$ e impiega $t_{AB} = 0{,}4\ \text{s}$ per arrivare in $B$. Trovare (a) l'accelerazione $a_{AB}$ e (b) la velocità $v_B$.

(a) Secondo principio nel tratto $AB$ (senza attrito):

$$x:\quad F_1 + F_{2x} = m\,a_{AB} \qquad y:\quad N - P + F_{2y} = 0$$ $$a_{AB} = \frac{F_1 + F_2\cos\alpha}{m} = \frac{15 + 20\cdot 0{,}9}{2{,}7} = \frac{33}{2{,}7} \approx 12\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

(b) Il corpo parte da fermo ($v_A = 0$), quindi con $v(t) = v_A + a_{AB}\,t$:

$$v_B = a_{AB}\,t_{AB} = 12\cdot 0{,}4 = 4{,}8\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Riprenderemo questo problema nel § 5, dopo aver introdotto l'energia, per trovare la velocità nel punto $C$.

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3. Il lavoro di una forza

Introduciamo ora una delle grandezze più potenti della fisica: l'energia, a partire dal concetto di lavoro.

3.1 Definizione

Consideriamo una forza $\vec F$ che agisce mentre il corpo compie uno spostamento infinitesimo $d\vec s$. Solo la componente della forza lungo lo spostamento compie lavoro: se $\alpha$ è l'angolo tra $\vec F$ e $d\vec s$, questa componente è $F\cos\alpha$. Il lavoro infinitesimo è

$$\boxed{\;dW = \vec F\cdot d\vec s = F\,ds\,\cos\alpha\;}$$

L'operazione $\vec F\cdot d\vec s$ è il prodotto scalare tra i due vettori: moltiplica i moduli per il coseno dell'angolo compreso, e restituisce un numero (uno scalare, non un vettore).

3.2 Segno del lavoro: motrice, frenante, nulla

Il segno del lavoro dipende dall'angolo $\alpha$ tra forza e spostamento:

Angolo	$\cos\alpha$	Lavoro	Tipo di forza
$0 \le \alpha < 90°$	positivo	$W > 0$	motrice (favorisce il moto)
$\alpha = 90°$	$0$	$W = 0$	lavoro nullo (al più cambia la direzione)
$90° < \alpha \le 180°$	negativo	$W < 0$	frenante (si oppone al moto)

L'attrito dinamico, sempre opposto al moto, è l'esempio tipico di forza frenante ($W < 0$). Una forza perpendicolare allo spostamento (come la reazione normale su un piano orizzontale) non compie lavoro.

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4. Il teorema dell'energia cinetica

Per uno spostamento finito da $A$ a $B$ lungo una traiettoria qualsiasi, il lavoro totale è l'integrale dei contributi infinitesimi:

$$W_{AB} = \int_A^B dW = \int_A^B \vec F\cdot d\vec s = \int_A^B F\cos\alpha\,ds = \int_A^B F_T\,ds$$

dove $F_T = F\cos\alpha$ è la componente tangenziale della forza (lungo la traiettoria). Usiamo ora il secondo principio, $F_T = m\,a$, e il passaggio chiave $a\,ds = \dfrac{dv}{dt}\,ds = \dfrac{ds}{dt}\,dv = v\,dv$:

$$W_{AB} = \int_A^B m\,a\,ds = \int_A^B m\,\frac{dv}{dt}\,ds = \int_A^B m\,v\,dv = m\left[\frac{1}{2}v^2\right]_A^B$$

da cui

$$\boxed{\;W_{AB} = \frac{1}{2}m\,v_B^2 - \frac{1}{2}m\,v_A^2\;}$$

4.1 Energia cinetica

La quantità $\tfrac{1}{2}mv^2$ (una massa per una velocità al quadrato, le dimensioni di un lavoro) si chiama energia cinetica:

$$\boxed{\;K = \frac{1}{2}m\,v^2\;}$$

Il risultato si enuncia così:

Teorema dell'energia cinetica. Il lavoro delle forze agenti su un corpo di massa $m$ che si muove lungo una traiettoria da $A$ a $B$ è pari alla differenza di energia cinetica tra $A$ e $B$: $W_{AB} = K_B - K_A$

È uno strumento potentissimo: collega forze e spostamenti (il lavoro) con lo stato di moto (la velocità), senza dover risolvere passo passo la legge oraria. Se conosciamo il lavoro fatto, conosciamo subito la variazione di velocità, e viceversa.

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5. Applicazione: velocità nel punto $C$ (con attrito)

Riprendiamo il problema del § 2. Dopo il tratto liscio $AB$, il corpo percorre il tratto $BC$ con attrito dinamico $\mu_d = 0{,}3$ e $\overline{BC} = 6\ \text{m}$. Vogliamo $v_C$.

Prima la reazione normale e l'attrito sul tratto $BC$:

$$N = mg - F_2\sin\alpha = 2{,}7\cdot 10 - 20\cdot\sin 25° \approx 18\ \text{N}$$ $$F_{ad} = \mu_d N = 0{,}3\cdot 18 \approx 5{,}4\ \text{N}$$

La forza risultante lungo il moto, nel tratto $BC$, è $F_1 + F_2\cos\alpha - F_{ad}$. Il lavoro su $BC$ (forza costante per spostamento) è quindi

$$W_{BC} = (F_1 + F_2\cos\alpha - F_{ad})\cdot\overline{BC} = (15 + 18 - 5{,}4)\cdot 6 \approx 166\ \text{J}$$

Ora applichiamo il teorema dell'energia cinetica al tratto $BC$, con $v_B = 4{,}8\ \text{m/s}$ (dal § 2):

$$W_{BC} = \frac{1}{2}m\,v_C^2 - \frac{1}{2}m\,v_B^2 \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}m\,v_C^2 = W_{BC} + \frac{1}{2}m\,v_B^2$$ $$v_C = \sqrt{\frac{2\,W_{BC}}{m} + v_B^2} = \sqrt{\frac{2\cdot 166}{2{,}7} + 4{,}8^2} \approx \sqrt{123 + 23} \approx 12\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

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Riepilogo

• Una forza inclinata va scomposta: $F_x = F\cos\alpha$ spinge, $F_y = F\sin\alpha$ modifica la reazione normale ($N = mg - F\sin\alpha$ se inclinata verso l'alto).
• Il corpo si muove se la componente motrice supera l'attrito statico massimo: $F\cos\alpha > \mu N$.
• Lavoro: $W = \vec F\cdot d\vec s = F\,ds\cos\alpha$ (prodotto scalare). Unità: joule, $1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}$.
• Forza motrice ($W>0$), frenante ($W<0$), a lavoro nullo ($W=0$, forza perpendicolare al moto).
• Energia cinetica: $K = \tfrac{1}{2}mv^2$.
• Teorema dell'energia cinetica: $W_{AB} = K_B - K_A = \tfrac{1}{2}mv_B^2 - \tfrac{1}{2}mv_A^2$.