Lavoro della forza peso, piano inclinato ed energia

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1. Ripasso: teorema dell'energia cinetica

Dalla lezione precedente:

$$W_{AB} = \int_A^B dW = \frac{1}{2}m\,v_B^2 - \frac{1}{2}m\,v_A^2, \qquad K = \frac{1}{2}m\,v^2$$ $$\boxed{\;W = \Delta K\;}$$

Il lavoro totale delle forze è pari alla variazione di energia cinetica. Ora calcoliamo il lavoro della forza più importante, il peso.

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2. Il lavoro della forza peso

Scegliamo un asse $z$ verticale verso l'alto. La forza peso ha componente $F_z = -mg$ (punta verso il basso). Calcoliamo il lavoro per uno spostamento da $A$ a $B$.

Il lavoro infinitesimo è $dW = \vec F\cdot d\vec s$, e di tutto lo spostamento conta solo la parte verticale $dz$. Componente verticale della forza ($-mg$) per spostamento verticale ($dz$):

$$dW = -mg\,dz$$

Integrando da $A$ a $B$:

$$W_{AB} = \int_A^B dW = \int_A^B (-mg)\,dz = -mg\,(z_B - z_A)$$ $$\boxed{\;W_P = -mg\,\Delta z\;}\qquad \Delta z = z_B - z_A$$

Analizziamo il segno, coerente con quanto visto in Forze inclinate, lavoro ed energ…:

Moto	$\Delta z$	Lavoro del peso
Il corpo scende	$\Delta z < 0$	$W_P > 0$ (peso motrice)
Il corpo sale	$\Delta z > 0$	$W_P < 0$ (peso frenante)
Moto orizzontale	$\Delta z = 0$	$W_P = 0$

2.1 Indipendenza dal percorso

Il risultato fondamentale è questo: il lavoro del peso dipende solo dalla quota iniziale e finale, non dal cammino seguito. Che il corpo scenda in verticale, lungo uno scivolo curvo o per un piano inclinato, se la differenza di quota è la stessa, il lavoro del peso è lo stesso.

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3. Applicazione: scivolo curvo (Problema 3/11/2025)

Un corpo di massa $m = 1{,}3\ \text{kg}$ arriva nel punto $B$ con velocità $v_B = 3{,}3\ \text{m/s}$ e poi scende lungo uno scivolo curvo liscio, abbassandosi di $h = 0{,}4\ \text{m}$ fino a $C$. Trovare $v_C$.

Sul tratto curvo agiscono il peso e la reazione normale $N$. Ma $N$ è sempre perpendicolare al moto, quindi non compie lavoro: l'unica forza che lavora è il peso. Per il teorema dell'energia cinetica, con la caduta di quota $h$ (il peso fa lavoro positivo $mgh$):

$$mgh = \frac{1}{2}m\,v_C^2 - \frac{1}{2}m\,v_B^2$$ $$\boxed{\;v_C = \sqrt{v_B^2 + 2gh}\;} = \sqrt{3{,}3^2 + 2\cdot 10\cdot 0{,}4} = \sqrt{10{,}89 + 8} \approx 4{,}3\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

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4. Il piano inclinato

Il piano inclinato è il banco di prova classico. Un corpo di massa $m$ è appoggiato su un piano inclinato di un angolo $\alpha$, liscio. Scegliamo gli assi lungo il piano ($x$, verso il basso) e perpendicolare ad esso ($y$).

Scomponiamo il peso lungo i due assi. Con l'angolo $\alpha$, la componente lungo il piano (che fa scivolare) e quella perpendicolare (premuta sul piano) sono:

$$P_x = P\sin\alpha = mg\sin\alpha, \qquad P_y = -P\cos\alpha = -mg\cos\alpha$$

Secondo principio:

$$y:\quad N - mg\cos\alpha = 0 \;\Longrightarrow\; N = mg\cos\alpha$$ $$x:\quad mg\sin\alpha = m\,a \;\Longrightarrow\; \boxed{\;a = g\sin\alpha\;}$$

L'accelerazione lungo un piano inclinato liscio è $g\sin\alpha$: non dipende dalla massa, e varia da $0$ (piano orizzontale, $\alpha = 0$) a $g$ (caduta libera, $\alpha = 90°$).

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5. Due metodi a confronto sul piano inclinato

Un corpo parte da fermo in $A$ e scivola lungo un piano inclinato liscio fino a $B$, con $\overline{AB} = 1\ \text{m}$ e $\alpha = 30°$. Troviamo $v_B$ in due modi.

5.1 Metodo cinematico

L'accelerazione è $a = g\sin\alpha = 10\cdot 0{,}5 = 5\ \text{m/s}^2$. Con $v_A = 0$, le leggi del moto uniformemente accelerato lungo il piano ($v(t) = at$, $x(t) = \tfrac{1}{2}at^2$):

$$\overline{AB} = \frac{1}{2}a\,t_B^2 \;\Longrightarrow\; t_B = \sqrt{\frac{2\,\overline{AB}}{a}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1}{5}} \approx 0{,}6\ \text{s}$$ $$v_B = a\,t_B = 5\cdot 0{,}6 \approx 3\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

5.2 Metodo energetico

Il dislivello tra $A$ e $B$ è $h = \overline{AB}\sin\alpha = 1\cdot 0{,}5 = 0{,}5\ \text{m}$. Solo il peso compie lavoro (la normale è perpendicolare al moto). Dal teorema dell'energia cinetica:

$$mgh = \frac{1}{2}m\,v_B^2 - \frac{1}{2}m\,v_A^2 \;\Longrightarrow\; v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}5} = \sqrt{10} \approx 3\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Stesso risultato. Il metodo energetico è più diretto, e soprattutto non richiede di passare per il tempo né per i dettagli del piano: conta solo il dislivello.

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6. Problema completo (15/7/2025): piano, attrito e salto

Un corpo di massa $m = 1{,}8\ \text{kg}$ parte da fermo in $A$, scende lungo un piano inclinato liscio $\overline{AB} = 1{,}5\ \text{m}$ con $\theta = 35°$, poi percorre un tratto orizzontale $\overline{BC} = 2{,}5\ \text{m}$ con attrito $\mu_d = 0{,}3$, e infine cade da un gradino di altezza $\overline{CC'} = 0{,}5\ \text{m}$. Trovare (1) $v_B$, (2) $v_C$, (3) $v_D$.

Si risolve "a pezzi", applicando il teorema dell'energia cinetica a ogni tratto e concatenando le velocità.

(1) Tratto $AB$ (piano liscio). Dislivello $h = \overline{AB}\sin\theta = 1{,}5\cdot\sin 35° \approx 0{,}9\ \text{m}$. Solo il peso lavora:

$$mgh = \frac{1}{2}m\,v_B^2 \;\Longrightarrow\; v_B = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 10\cdot 0{,}9} = \sqrt{18} \approx 4{,}2\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

(2) Tratto $BC$ (orizzontale con attrito). Qui il peso non lavora (moto orizzontale), ma l'attrito sì, con lavoro negativo $-F_a\,\overline{BC} = -\mu_d\,mg\,\overline{BC}$:

$$-\mu_d\,mg\,\overline{BC} = \frac{1}{2}m\,v_C^2 - \frac{1}{2}m\,v_B^2$$ $$v_C = \sqrt{v_B^2 - 2\mu_d\,g\,\overline{BC}} = \sqrt{18 - 2\cdot 0{,}3\cdot 10\cdot 2{,}5} = \sqrt{18 - 15} = \sqrt{3} \approx 1{,}7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

(3) Salto da $C$ a $D$. Nella caduta (senza attrito) solo il peso lavora, con dislivello $\overline{CC'} = 0{,}5\ \text{m}$. Con lo stesso teorema, la velocità (in modulo) di arrivo a terra è

$$v_D = \sqrt{v_C^2 + 2g\,\overline{CC'}} = \sqrt{3 + 2\cdot 10\cdot 0{,}5} = \sqrt{3 + 10} = \sqrt{13} \approx 3{,}6\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

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Riepilogo

• Lavoro della forza peso: $W_P = -mg\,\Delta z$ (con $\Delta z = z_B - z_A$). Positivo in discesa, negativo in salita, nullo in orizzontale.
• Il lavoro del peso dipende solo dal dislivello, non dal percorso: il peso è una forza conservativa.
• La reazione normale non compie mai lavoro (è perpendicolare al moto).
• Piano inclinato liscio: $N = mg\cos\alpha$ e accelerazione $a = g\sin\alpha$ (indipendente dalla massa).
• I problemi di velocità con dislivelli e attrito si risolvono col teorema dell'energia cinetica tratto per tratto, concatenando le velocità: $v = \sqrt{2gh}$ in caduta libera, $v_C = \sqrt{v_B^2 - 2\mu_d g\,d}$ con attrito.