Legge oraria, moto uniforme, accelerazione e moto uniformemente accelerato

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1. Ripasso: velocità e legge oraria

Riprendiamo i due strumenti introdotti in precedenza. La velocità media tra due istanti è il rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato:

$$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$

La velocità istantanea è il suo limite per intervalli sempre più piccoli, cioè la derivata della posizione rispetto al tempo:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}$$

L'obiettivo della cinematica è trovare la legge oraria, cioè la funzione

$$x(t) = \dots$$

che dà la posizione a ogni istante. Una volta nota $x(t)$, sappiamo tutto del moto: derivandola otteniamo la velocità, e da questa l'accelerazione. In questa lezione costruiamo la legge oraria per i due casi più importanti, il moto a velocità costante e il moto ad accelerazione costante.

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2. Moto uniforme

Il moto uniforme è il moto in cui la velocità è costante:

$$v = \text{costante}$$

2.1 La legge oraria per integrazione

Conosciamo la velocità e vogliamo risalire alla posizione. Partiamo dalla definizione di velocità e "invertiamola" integrando. Da

$$v = \frac{dx}{dt} \quad\Longrightarrow\quad dx = v\,dt$$

integriamo entrambi i membri: il tempo da $0$ a $t$, e corrispondentemente la posizione da $x_0$ (posizione iniziale) a $x(t)$:

$$\int_{x_0}^{x(t)} dx = \int_{0}^{t} v\,dt$$

Poiché $v$ è costante esce dall'integrale:

$$x\Big|_{x_0}^{x(t)} = v \int_{0}^{t} dt \quad\Longrightarrow\quad x(t) - x_0 = v\,t\Big|_{0}^{t} = v\,t$$

da cui la legge oraria del moto uniforme:

$$\boxed{\;x(t) = x_0 + v\,t\;}$$

2.2 Problema 1.2 (Mazzoldi)

Un punto si muove di moto uniforme con velocità $v = 0{,}4\ \text{m/s}$ e parte dalla posizione $x_0 = -2{,}5\ \text{m}$. Trovare: (a) la legge oraria; (b) la posizione a $t = 5\ \text{s}$; (c) lo spazio percorso tra $t = 0$ e $t = 5\ \text{s}$.

(a) Legge oraria. Applichiamo direttamente $x(t) = x_0 + vt$ con i dati:

$$x(t) = -2{,}5\ \text{m} + 0{,}4\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot t$$

(b) Posizione a $t = 5\ \text{s}$. Sostituiamo:

$$x(5) = -2{,}5 + 0{,}4 \cdot 5 = -2{,}5 + 2 = -0{,}5\ \text{m}$$

Il punto è ancora dalla parte negativa dell'asse, ma più vicino all'origine rispetto alla partenza.

(c) Spazio percorso. È lo spostamento tra i due istanti:

$$\Delta x = x(5) - x(0) = -0{,}5 - (-2{,}5) = -0{,}5 + 2{,}5 = 2\ \text{m}$$

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3. Problema 1.1 (Mazzoldi): dalla legge oraria alla velocità

Un punto ha legge oraria $x(t) = 3 - 6t$ (in metri). Trovare: (a) la velocità; (b) la posizione a $t = 0$ e a $t = 2\ \text{s}$; (c) l'istante in cui passa per l'origine.

Qui il percorso è inverso rispetto al problema precedente: conosciamo $x(t)$ e dobbiamo derivarla.

(a) Velocità. Deriviamo la legge oraria rispetto al tempo:

$$v = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(3 - 6t) = \frac{d}{dt}(3) + \frac{d}{dt}(-6t) = 0 - 6 = -6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

La derivata di una costante è zero, e la derivata di $-6t$ è $-6$ (poiché $\frac{dt}{dt} = 1$). La velocità è costante, quindi anche questo è un moto uniforme, con velocità negativa: il punto si muove nel verso negativo dell'asse.

(b) Posizioni.

$$x(0) = 3\ \text{m}, \qquad x(2) = 3 - 6\cdot 2 = 3 - 12 = -9\ \text{m}$$

(c) Passaggio per l'origine. Cerchiamo l'istante $t'$ tale che $x(t') = 0$:

$$x(t') = 3 - 6t' = 0 \quad\Longrightarrow\quad t' = \frac{3}{6} = 0{,}5\ \text{s}$$

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4. L'accelerazione

Finora la velocità era costante. In generale, però, anche la velocità cambia nel tempo, e per descriverne la variazione introduciamo l'accelerazione.

4.1 Un esempio numerico

Consideriamo un punto le cui posizioni a istanti successivi sono:

$t$ (s)	$x$ (m)	$v$ (m/s)	$a$ (m/s²)
0	0	1
1	1	2	1
2	3	3	1
3	6

La colonna $v$ è la velocità media su ogni intervallo unitario: tra $t=0$ e $t=1$ vale $\tfrac{1-0}{1} = 1$, poi $\tfrac{3-1}{1} = 2$, poi $\tfrac{6-3}{1} = 3$. La velocità cresce in modo regolare. La colonna $a$ misura proprio quanto cresce la velocità da un intervallo al successivo: passa da $1$ a $2$ (variazione $1$) e da $2$ a $3$ (variazione $1$). L'accelerazione è costante e vale $1\ \text{m/s}^2$.

4.2 Accelerazione media e istantanea

In analogia con la velocità, l'accelerazione media è la variazione di velocità diviso il tempo impiegato:

$$a_m = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1} = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

e l'accelerazione istantanea è il suo limite, cioè la derivata della velocità rispetto al tempo:

$$\boxed{\;a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt}\;}$$

Poiché a sua volta $v = \dfrac{dx}{dt}$, l'accelerazione è la derivata seconda della posizione. Abbiamo quindi una catena: derivando la posizione si ottiene la velocità, derivando la velocità si ottiene l'accelerazione.

$$x(t) \;\xrightarrow{\;\frac{d}{dt}\;}\; v(t) = \frac{dx}{dt} \;\xrightarrow{\;\frac{d}{dt}\;}\; a(t) = \frac{dv}{dt}$$

Nel moto uniformemente accelerato, come mostra la figura, la posizione è una parabola, la velocità una retta crescente e l'accelerazione una costante: ogni grafico è la pendenza (la derivata) di quello sopra.

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5. Moto uniformemente accelerato

Il moto uniformemente accelerato è il moto in cui l'accelerazione è costante:

$$a = \text{costante}$$

5.1 Problema 1.3 (Mazzoldi)

Un punto si muove con accelerazione costante. Nel punto $x_1$ ha velocità $v_1 = 1{,}9\ \text{m/s}$; dopo uno spostamento $\Delta x = 10\ \text{m}$ raggiunge il punto $x_2 = x_1 + \Delta x$ con velocità $v_2 = 8{,}2\ \text{m/s}$. Trovare: (a) l'accelerazione; (b) il tempo impiegato a percorrere $\Delta x$.

(a) Accelerazione. Verrebbe naturale usare $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$, ma non conosciamo il tempo $\Delta t$. Conosciamo invece lo spazio. Serve quindi una relazione che leghi accelerazione, velocità e spazio, senza il tempo.

Il trucco è riscrivere l'accelerazione moltiplicando e dividendo per $dx$:

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dt}\cdot\frac{dx}{dx} = \frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}\cdot v$$

cioè $a = v\dfrac{dv}{dx}$, ovvero $a\,dx = v\,dv$. Integriamo tra i due punti, lo spazio da $x_1$ a $x_2$ e corrispondentemente la velocità da $v_1$ a $v_2$:

$$\int_{x_1}^{x_2} a\,dx = \int_{v_1}^{v_2} v\,dv$$

Poiché $a$ è costante esce dall'integrale, e a destra l'integrale di $v$ è $\tfrac{v^2}{2}$:

$$a \int_{x_1}^{x_2} dx = \frac{v^2}{2}\bigg|_{v_1}^{v_2} \quad\Longrightarrow\quad a\,x\Big|_{x_1}^{x_2} = \frac{v_2^2}{2} - \frac{v_1^2}{2}$$ $$a\,\underbrace{(x_2 - x_1)}_{\Delta x} = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2}$$

da cui la relazione senza il tempo:

$$\boxed{\;a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2\,\Delta x}\;}\qquad\text{ovvero}\qquad v_2^2 - v_1^2 = 2\,a\,\Delta x$$

Con i dati:

$$a = \frac{8{,}2^2 - 1{,}9^2}{2\cdot 10} = \frac{64 - 4}{20} = 3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

(b) Tempo impiegato. Ora che il moto è noto, ricaviamo $\Delta t$. Conviene usare la velocità media. In un moto uniformemente accelerato la velocità cresce linearmente nel tempo, quindi la sua media è semplicemente la media aritmetica tra valore iniziale e finale:

$$v_m = \frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{1{,}9 + 8{,}2}{2} \approx 5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

Dalla definizione di velocità media $v_m = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ ricaviamo il tempo:

$$\Delta t = \frac{\Delta x}{v_m} = \frac{10}{5} = 2\ \text{s}$$

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Riepilogo

• La legge oraria $x(t)$ contiene tutta l'informazione sul moto: derivandola si ottiene $v(t)$, derivando ancora $a(t)$.
• Moto uniforme ($v$ costante): legge oraria $x(t) = x_0 + vt$, ottenuta integrando $dx = v\,dt$. Lo spostamento è l'area sotto il grafico $v(t)$.
• Accelerazione media: $a_m = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$. Accelerazione istantanea: $a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{d^2x}{dt^2}$.
• Moto uniformemente accelerato ($a$ costante): la posizione è una parabola, la velocità una retta, l'accelerazione una costante.
• Relazione senza il tempo: $v_2^2 - v_1^2 = 2a\,\Delta x$, ricavata da $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Utile quando si conosce lo spazio ma non il tempo.
• Nel moto uniformemente accelerato la velocità media è la media aritmetica: $v_m = \dfrac{v_1 + v_2}{2}$.