Forza peso, reazione vincolare e attrito

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1. La forza peso

Come visto in Terzo principio della dinamica e…, tutti i corpi che si muovono vicino alla superficie terrestre si possono trattare come soggetti a una accelerazione costante, l'accelerazione di gravità:

$$g = 9{,}81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \approx 10\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Questo valore viene dalla legge di gravitazione $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$ applicata alla Terra: raccogliendo i fattori costanti (massa e raggio terrestri, più $G$) si ottiene proprio $g$.

La forza con cui la Terra attrae un corpo di massa $m$ si chiama forza peso:

$$\boxed{\;P = m\,g\;}$$

È sempre diretta verso il basso. Poiché $g$ è la stessa per tutti, una piuma e una cassa da $10\ \text{kg}$ subiscono la stessa accelerazione $g$ (cadono insieme, in assenza d'aria), ma hanno peso diverso, perché il peso dipende dalla massa.

1.1 Il newton

L'unità di misura della forza nel SI è il newton (N). Dalla relazione $F = ma$ (o $P = mg$):

$$[F] = [M]\,\frac{[L]}{[T]^2} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\;}$$

Un newton è la forza che imprime a una massa di $1\ \text{kg}$ un'accelerazione di $1\ \text{m/s}^2$.

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2. La reazione vincolare normale

Un corpo appoggiato a un tavolo non cade: la forza peso lo tira verso il basso, ma qualcosa la bilancia. Quel qualcosa è la reazione vincolare.

Un vincolo è un qualsiasi corpo che limita il movimento nello spazio (un tavolo, un pavimento, una parete). La reazione vincolare è la forza che il vincolo esercita sul corpo, come contrapposizione all'azione che il corpo esercita su di esso.

La componente perpendicolare alla superficie del vincolo si chiama reazione vincolare normale $N$ ("normale" significa proprio perpendicolare):

Per un corpo fermo su un piano orizzontale, le due forze si bilanciano: dal secondo principio lungo la verticale, con accelerazione nulla, si ha $N - mg = 0$, cioè $N = mg$. Ma attenzione: questo è vero solo in questa situazione. La reazione normale non è sempre uguale al peso, come mostra subito l'esempio dell'ascensore.

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3. L'ascensore: il peso apparente

Consideriamo una persona di massa $m$ dentro un ascensore. Sulla persona agiscono due forze: il peso $P = mg$ verso il basso e la reazione normale $N$ del pavimento verso l'alto. Il valore di $N$ è ciò che una bilancia sotto i piedi misurerebbe, cioè il peso apparente.

Scegliamo un asse $z$ verticale verso l'alto e applichiamo il secondo principio alla persona. La somma delle forze è uguale a $ma$:

$$\sum_i F_i = m\,a \quad\Longrightarrow\quad N - P = m\,a \quad\Longrightarrow\quad N - mg = m\,a$$

da cui

$$\boxed{\;N = mg + ma = m(g + a)\;}$$

dove $a$ è l'accelerazione dell'ascensore (con segno: positiva verso l'alto). Analizziamo i tre casi:

Situazione	Accelerazione	Reazione normale	Peso apparente
Ascensore fermo o a velocità costante	$a = 0$	$N = mg$	uguale al peso reale
In salita accelerata	$a > 0$	$N' = m(g+a) > mg$	ci si sente più pesanti
In discesa accelerata	$a < 0$	$N'' = m(g-a) < mg$	ci si sente più leggeri

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4. La forza d'attrito

Finora le superfici erano lisce. In realtà, quando un corpo si muove (o tende a muoversi) in contatto con la superficie di un vincolo, in direzione parallela a questa, risente di una reazione vincolare diretta in verso opposto al moto: la chiamiamo forza d'attrito.

4.1 Attrito statico

Supponiamo di spingere il corpo con una forza $F$ orizzontale non ancora sufficiente a metterlo in moto. Il corpo resta fermo: siamo nel caso statico. Applichiamo il secondo principio lungo i due assi (accelerazione nulla in entrambi):

$$\text{lungo } z:\quad N - mg = m\,a_z = 0 \;\Longrightarrow\; N = mg$$ $$\text{lungo } x:\quad F - F_a = m\,a = 0 \;\Longrightarrow\; F_a = F$$

L'attrito statico è una forza che si adatta: vale esattamente quanto serve per bilanciare la spinta $F$, mantenendo il corpo fermo. Ma non può crescere all'infinito.

4.2 Attrito statico massimo

L'attrito statico ha un valore massimo, oltre il quale il corpo si mette in moto:

$$\boxed{\;F_{as,\,max} = \mu_s\,N\;}$$

dove:

• $\mu_s$ è il coefficiente di attrito statico;
• $N$ è la reazione vincolare normale.

Due proprietà:

• c'è proporzionalità lineare tra la reazione normale $N$ e l'attrito massimo: premere di più il corpo contro la superficie aumenta l'attrito disponibile;
• $\mu_s$ è un numero adimensionale, dipendente dai materiali a contatto, di solito compreso tra 0 e 1.

$F_{as,max}$ rappresenta il valore massimo che la forza di attrito statico può assumere reagendo alle altre forze, prima di lasciare che il corpo si metta in moto. Finché la spinta resta sotto questa soglia, il corpo non parte.

4.3 Attrito dinamico

Una volta vinto l'attrito statico massimo, il corpo si muove, ma continua a risentire di un attrito, che chiamiamo dinamico:

$$\boxed{\;F_{ad} = \mu_d\,N\;}$$

con $\mu_d$ coefficiente di attrito dinamico. A differenza di quello statico, l'attrito dinamico è costante (non si adatta): finché il corpo scivola, vale sempre $\mu_d N$. In genere $\mu_d < \mu_s$: serve più forza per far partire un corpo che per tenerlo in movimento.

Il grafico riassume tutto: finché si spinge poco, l'attrito statico cresce insieme alla spinta (tratto a 45°), fino al massimo $\mu_s N$. Superata quella soglia il corpo parte e l'attrito scende al valore dinamico costante $\mu_d N$.

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Riepilogo

• Forza peso: $P = mg$, diretta verso il basso, con $g \approx 9{,}81\ \text{m/s}^2$. Massa (kg) e peso (newton) sono grandezze diverse.
• Newton: $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}^2$.
• Reazione vincolare normale $N$: perpendicolare alla superficie del vincolo. Vale $N = mg$ solo per un corpo fermo su un piano orizzontale.
• Peso apparente in ascensore: $N = m(g + a)$. Maggiore del peso in salita accelerata, minore in discesa.
• Attrito statico: si adatta alla spinta, fino al massimo $F_{as,max} = \mu_s N$.
• Attrito dinamico: costante mentre il corpo scivola, $F_{ad} = \mu_d N$, con $\mu_d < \mu_s$.
• I coefficienti $\mu_s, \mu_d$ sono adimensionali e dipendono dai materiali a contatto.