Esercizi d'esame di termodinamica

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1. Espansione libera ed entropia (Es. 13.5)

Due gas in scomparti $A$ ($n_A = 2\ \text{mol}$, $C_V^A = \tfrac{3}{2}R$) e $B$ ($n_B = 1\ \text{mol}$, $C_V^B = \tfrac{5}{2}R$) di un recipiente isolato; $T_0 = 290\ \text{K}$. Calcolare la variazione di entropia dell'universo dopo che il gas si espande liberamente.

Nell'espansione libera (recipiente isolato, vedi Il primo principio della termodi…) non c'è scambio di calore con l'esterno, quindi $\Delta S_{ambiente} = 0$ e tutta la variazione è del sistema:

$$\Delta S_{universo} = \Delta S_{sistema}$$

Poiché l'entropia è funzione di stato (vedi Teorema di Carnot, disuguaglianz…), la si calcola lungo un percorso reversibile tra gli stessi stati. Il volume a disposizione di ciascun gas aumenta, e applicando $\Delta S = nC_V\ln\frac{T_f}{T_0} + nR\ln\frac{V_f}{V_0}$ per i due gas si ottiene

$$\Delta S_{universo} \approx 7{,}67\ \text{J/K} > 0$$

Il risultato è positivo, come deve essere per un processo irreversibile in un sistema isolato. I gas non torneranno mai spontaneamente nei loro scomparti.

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2. Trasformazione lineare: entropia e calore (09/09/2024)

$n = 2\ \text{mol}$ di gas ($C_V = \tfrac{5}{2}R$) vanno dallo stato 1 ($P_1 = 2\ \text{atm} \approx 2\times 10^5\ \text{Pa}$, $T_1 = 300\ \text{K}$) allo stato 2 ($P_2 = P_1/2$, $V_2 = 3V_1$) lungo una retta nel piano $P$–$V$. Trovare $T_2$, $\Delta S$ e il calore $Q$.

Temperatura finale. Dall'equazione di stato, $T_2 = \dfrac{P_2 V_2}{nR} = \dfrac{(P_1/2)(3V_1)}{nR} = \dfrac{3}{2}\dfrac{P_1 V_1}{nR} = \dfrac{3}{2}T_1 = 450\ \text{K}$.

Variazione di entropia (funzione di stato, dipende solo da 1 e 2):

$$\Delta S = nC_V\ln\frac{T_2}{T_1} + nR\ln\frac{V_2}{V_1} = 5R\ln\frac{3}{2} + 2R\ln 3 \approx 16{,}8 + 18{,}3 \approx 35{,}1\ \text{J/K}$$

Calore dal primo principio $Q = \Delta U + L$, con $L$ = area del trapezio sotto la retta:

$$L = \frac{1}{2}(P_1 + P_2)(V_2 - V_1) = \frac{3}{2}P_1 V_1 \approx 7{,}46\ \text{kJ}$$ $$\Delta U = nC_V(T_2 - T_1) = nC_V\frac{T_1}{2} = \frac{5\,nRT_1}{4} \approx 6{,}23\ \text{kJ}$$ $$Q = \Delta U + L \approx 13{,}7\ \text{kJ}$$

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3. Ciclo con adiabatica (11/06/2024)

$n = 1\ \text{mol}$ ($C_V = \tfrac{3}{2}R$, $\gamma = \tfrac{5}{3}$). Trasformazione adiabatica $A \to B$ con $T_B = 25\,°\text{C} = 298\ \text{K}$, $P_B = 10^5\ \text{Pa}$, $V_B = 0{,}02\ \text{m}^3$, $P_A = 8{,}5\times 10^5\ \text{Pa}$. Trovare $V_A$ e $T_A$.

Sull'adiabatica vale $PV^\gamma = \text{cost}$ (vedi Trasformazioni termodinamiche, c…), da cui

$$V_A = V_B\left(\frac{P_B}{P_A}\right)^{1/\gamma} = 0{,}02\left(\frac{10^5}{8{,}5\times 10^5}\right)^{3/5} \approx 5{,}5\times 10^{-3}\ \text{m}^3$$ $$T_A = \frac{P_A V_A}{nR} \approx 566\ \text{K}$$

Per il ciclo completo (adiabatica + altre trasformazioni), poiché $\Delta U_{ciclo} = 0$, il lavoro netto è $W_{tot} = Q_{tot} = Q_{AB} + Q_{BC} + Q_{CA}$; con $Q_{AB} = 0$ (adiabatica) si ottiene $W_{tot} \approx 170\ \text{J}$.

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4. Ciclo completo: rendimento ed entropia (Es. 13.16)

$V_A = 39{,}84\times 10^{-3}\ \text{m}^3$, $P_A = 10^5\ \text{Pa}$, $T_A = 300\ \text{K}$, $V_B = V_A/3$, $W_{AB} = -4482\ \text{J}$, $T_C = 600\ \text{K}$. Trovare $C_V$, il rendimento $\eta$, la temperatura $T_D$ e $\Delta S_{CD}$.

Numero di moli: $n = \dfrac{P_A V_A}{R T_A} \approx 1{,}6\ \text{mol}$.

Il ciclo combina un'isoterma ($A \to B$, dove $Q_{AB} = W_{AB} = -4482\ \text{J}$ perché $\Delta U = 0$) e due isocore ($B \to C$ e $D \to A$):

$$Q_{BC} = nC_V(T_C - T_A) > 0 \qquad Q_{DA} = nC_V(T_A - T_D) < 0$$

Calore specifico. Dal rendimento noto $\eta = 0{,}15 = \dfrac{W_{tot}}{Q_{ass}}$ si ricava $Q_{BC}$, e da $Q_{BC} = nC_V(T_C - T_A)$ si trova

$$C_V \approx \frac{5}{2}R \quad\text{(gas biatomico)}$$

Temperatura $T_D$ dal bilancio dei calori del ciclo:

$$T_D = -\frac{Q_{DA}}{nC_V} + T_A \approx 420\ \text{K}$$

Variazione di entropia sul tratto $C \to D$:

$$\Delta S_{CD} = nC_V\ln\frac{T_D}{T_C} + nR\ln\frac{V_D}{V_C} \approx 2{,}75\ \text{J/K}$$

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5. Mappa finale della termodinamica

A chiusura del corso, le relazioni fondamentali da tenere insieme:

Concetto	Relazione chiave	Lezione
Equazione di stato	$PV = nRT$	Equazione di stato dei gas perfe…
Primo principio	$\Delta U = Q - L$, $\Delta U = nC_V\Delta T$	Il primo principio della termodi…
Mayer	$C_P = C_V + R$, $\gamma = C_P/C_V$	Il primo principio della termodi…
Lavoro	$L = \int P\,dV$ (area in $P$–$V$)	Cambiamenti di fase, dilatazione…
Adiabatica	$PV^\gamma = \text{cost}$	Trasformazioni termodinamiche, c…
Rendimento	$\eta = 1 - \dfrac{ \mid Q_{ced} \mid }{Q_{ass}} \le 1 - \dfrac{T_1}{T_2}$	Trasformazioni termodinamiche, c…, Teorema di Carnot, disuguaglianz…
Secondo principio	$\Delta S_{universo} \ge 0$	Teorema di Carnot, disuguaglianz…
Entropia (gas)	$\Delta S = nC_V\ln\dfrac{T_B}{T_A} + nR\ln\dfrac{V_B}{V_A}$	Teorema di Carnot, disuguaglianz…

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Riepilogo

• Nell'espansione libera di un sistema isolato l'entropia dell'universo aumenta ($\Delta S > 0$): processo irreversibile.
• L'entropia è funzione di stato: si calcola lungo un percorso reversibile qualunque tra gli stati estremi.
• I cicli si risolvono trasformazione per trasformazione, identificandone il tipo; $\Delta U_{ciclo} = 0$ e $W_{tot} = Q_{tot}$.
• Il rendimento dato permette di risalire a grandezze incognite (numero di moli, $C_V$, temperature).
• Tutta la termodinamica del corso si regge su poche relazioni: equazione di stato, primo e secondo principio, definizione di entropia.