Trasformazioni termodinamiche, cicli e macchine termiche

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1. L'indice adiabatico

Dalla relazione di Mayer (Il primo principio della termodi…) sappiamo $C_P = C_V + R$. Definiamo il rapporto tra i due calori molari, l'indice adiabatico:

$$\boxed{\;\gamma = \frac{C_P}{C_V}\;}$$

che è sempre $> 1$ (vale $\tfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ per i gas monoatomici, $\tfrac{7}{5} = 1{,}4$ per i biatomici). Comparirà in tutte le formule delle adiabatiche.

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2. La trasformazione adiabatica

Una trasformazione adiabatica avviene senza scambio di calore: $Q = 0$ (sistema isolato termicamente, o trasformazione molto rapida).

2.1 La legge $PV^\gamma = \text{cost}$

Dal primo principio $\delta Q = dU + \delta L = nC_V\,dT + P\,dV = 0$. Sostituendo $P = \dfrac{nRT}{V}$:

$$nC_V\,dT + \frac{nRT}{V}\,dV = 0 \;\Longrightarrow\; \frac{dV}{V}\cdot\frac{R}{C_V} = -\frac{dT}{T}$$

Poiché $\dfrac{R}{C_V} = \dfrac{C_P - C_V}{C_V} = \gamma - 1$, integrando da $A$ a $B$:

$$(\gamma - 1)\ln\frac{V_B}{V_A} = -\ln\frac{T_B}{T_A} \;\Longrightarrow\; T_B\,V_B^{\gamma-1} = T_A\,V_A^{\gamma-1}$$

cioè, lungo un'adiabatica:

$$\boxed{\;T\,V^{\gamma-1} = \text{cost}\;}\qquad\text{equivalente a}\qquad\boxed{\;P\,V^\gamma = \text{cost}\;}$$

(la seconda forma si ottiene sostituendo $T = PV/nR$). Nel piano $P$–$V$ l'adiabatica è più ripida dell'isoterma.

2.2 Il lavoro in un'adiabatica

Con $Q = 0$, il primo principio dà $L = -\Delta U = -nC_V(T_B - T_A) = nC_V(T_A - T_B)$. Riscritto con $PV = nRT$:

$$L_{AB} = nC_V(T_A - T_B) = \frac{P_A V_A - P_B V_B}{\gamma - 1}$$

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3. La trasformazione isoterma

In una trasformazione isoterma la temperatura è costante. Poiché per un gas perfetto $U = U(T)$ (vedi Il primo principio della termodi…), si ha $\Delta U = 0$, quindi dal primo principio:

$$\Delta U = 0 \;\Longrightarrow\; Q = L$$

Tutto il calore assorbito diventa lavoro (in espansione), o tutto il lavoro fatto sul gas viene ceduto come calore (in compressione). Il lavoro si calcola integrando $\delta L = P\,dV = \dfrac{nRT}{V}\,dV$ a $T$ costante:

$$\boxed{\;Q = L_{AB} = nRT\ln\frac{V_B}{V_A}\;}$$

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4. Le quattro trasformazioni a confronto

Riassumiamo il primo principio per le quattro trasformazioni fondamentali di un gas perfetto:

Trasformazione	Costante	Lavoro $L$	Calore $Q$	$\Delta U$
Isocora	$V$	$0$	$nC_V\Delta T$	$nC_V\Delta T$
Isobara	$P$	$P\Delta V = nR\Delta T$	$nC_P\Delta T$	$nC_V\Delta T$
Isoterma	$T$	$nRT\ln\frac{V_B}{V_A}$	$= L$	$0$
Adiabatica	($Q=0$)	$nC_V(T_A - T_B)$	$0$	$nC_V\Delta T$

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5. Trasformazioni cicliche e macchine termiche

Una trasformazione ciclica riporta il sistema allo stato di partenza. Poiché $U$ è una variabile di stato e lo stato finale coincide con l'iniziale:

$$\Delta U = 0 \;\Longrightarrow\; Q = L$$

In un ciclo, il calore netto scambiato è uguale al lavoro netto compiuto. Questo è il principio di funzionamento delle macchine.

A seconda del verso di percorrenza del ciclo nel piano $P$–$V$:

• Macchina termica (ciclo orario): $Q > 0$ e $L > 0$. Assorbe calore netto e compie lavoro netto (motore).
• Macchina frigorifera (ciclo antiorario): $Q < 0$ e $L < 0$. Si compie lavoro su di essa per spostare calore (frigorifero, pompa di calore).

Il calore totale è la somma di quello assorbito e di quello ceduto: $Q = Q_{ass} + Q_{ced}$ (con $Q_{ced} < 0$).

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6. Il rendimento

Una macchina termica assorbe calore $Q_{ass}$ da una sorgente calda, ne converte una parte in lavoro $L$ e cede il resto $|Q_{ced}|$ a una sorgente fredda. Il rendimento misura quanta parte del calore assorbito diventa lavoro utile:

$$\eta = \frac{L}{Q_{ass}} = \frac{Q_{ass} + Q_{ced}}{Q_{ass}} = 1 + \frac{Q_{ced}}{Q_{ass}} = 1 - \frac{|Q_{ced}|}{Q_{ass}}$$

Poiché una parte di calore viene sempre ceduta ($|Q_{ced}| > 0$), il rendimento è sempre minore di 1:

$$\boxed{\;\eta = 1 - \frac{|Q_{ced}|}{Q_{ass}} < 1\;}$$

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7. Il ciclo di Carnot

Il ciclo di Carnot è il ciclo ideale di riferimento: due trasformazioni isoterme (a temperatura $T_2$ calda e $T_1$ fredda) alternate a due adiabatiche. Opera tra due sole sorgenti di calore.

Le quattro trasformazioni:

1. Isoterma a $T_2$ ($A \to B$): $\Delta U = 0$, assorbe $Q_{AB} = nRT_2\ln\dfrac{V_B}{V_A} = L_{AB} > 0$.
2. Adiabatica ($B \to C$): $Q = 0$, il gas si espande e si raffredda da $T_2$ a $T_1$ ($TV^{\gamma-1} = \text{cost}$).
3. Isoterma a $T_1$ ($C \to D$): cede $Q_{CD} = nRT_1\ln\dfrac{V_D}{V_C} = L_{CD} < 0$.
4. Adiabatica ($D \to A$): $Q = 0$, il gas si comprime e si riscalda da $T_1$ a $T_2$.

Il calore è scambiato solo nelle due isoterme, quindi $Q_{ass} = Q_{AB}$ e $Q_{ced} = Q_{CD}$. Il rendimento è

$$\eta = 1 + \frac{Q_{CD}}{Q_{AB}} = 1 + \frac{nRT_1\ln(V_D/V_C)}{nRT_2\ln(V_B/V_A)}$$

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Riepilogo

• Indice adiabatico: $\gamma = C_P/C_V > 1$.
• Adiabatica ($Q = 0$): $TV^{\gamma-1} = \text{cost}$, $PV^\gamma = \text{cost}$; lavoro $L = nC_V(T_A - T_B)$. Espandendo, il gas si raffredda.
• Isoterma ($\Delta U = 0$): $Q = L = nRT\ln(V_B/V_A)$.
• Quattro trasformazioni: $\Delta U = nC_V\Delta T$ sempre; $Q$ dal primo principio se non isocora/isobara.
• Cicli: $\Delta U = 0 \Rightarrow Q = L$. Macchina termica (orario, $L > 0$) o frigorifera (antiorario, $L < 0$).
• Rendimento: $\eta = 1 - \dfrac{|Q_{ced}|}{Q_{ass}} < 1$ (parte del calore va sempre ceduta).
• Ciclo di Carnot: due isoterme + due adiabatiche; rendimento massimo $\eta = 1 - \dfrac{T_1}{T_2}$, dipendente solo dalle temperature.