Cambiamenti di fase, dilatazione e leggi dei gas

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1. I cambiamenti di fase

Quando si scalda un solido, all'inizio la temperatura sale secondo $dQ = m c_s\,dT$ (vedi Introduzione alla termodinamica,…). Ma al momento del passaggio di stato (fusione, ebollizione) accade qualcosa di diverso: la temperatura rimane costante mentre si continua a fornire calore. Le transizioni di fase sono isoterme.

Per esempio, scaldando del ghiaccio su una piastra a $T_A > 0\,°\text{C}$, prima la sua temperatura sale fino al punto di fusione $T_{fus} = 273{,}15\ \text{K} = 0\,°\text{C}$ (calore $Q = m c_s\,\Delta T$), poi resta a $0\,°\text{C}$ finché tutto il ghiaccio è diventato acqua.

Il calore assorbito durante la transizione (i tratti orizzontali) è il calore latente:

$$\boxed{\;Q = m\,\lambda\;}$$

dove $\lambda$ è il calore latente specifico del passaggio (di fusione, di vaporizzazione, in J/kg). Non cambia la temperatura: l'energia serve a rompere i legami tra le molecole e riorganizzare la struttura.

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2. I modi di scambio del calore

Il calore si trasmette in tre modi:

• Conduzione: attraverso un materiale, per contatto tra molecole vicine (un cucchiaio nel tè caldo).
• Convezione: per movimento di un fluido (l'aria calda che sale, l'acqua che bolle).
• Irraggiamento: tramite onde elettromagnetiche, anche nel vuoto (il calore del Sole).

2.1 La legge di Fourier (conduzione)

Il flusso di calore per conduzione attraverso una lastra è proporzionale al gradiente di temperatura $\dfrac{dT}{dx}$ e all'area $S$:

$$dQ = -k\,\frac{dT}{dx}\,S\,dt$$

dove $k$ è la conducibilità termica del materiale, in $\text{J}/(\text{m}\cdot\text{s}\cdot\text{K}) = \text{W}/(\text{m}\cdot\text{K})$. Il segno meno indica che il calore fluisce dal caldo al freddo (verso le $T$ decrescenti). I metalli hanno $k$ alto (conducono bene), gli isolanti $k$ basso.

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3. La dilatazione termica

Quasi tutti i materiali si dilatano scaldandosi. Per una sbarra di lunghezza iniziale $l_0$, la dilatazione lineare è proporzionale a $\Delta T$:

$$\Delta l = l_0\,\lambda\,\Delta T \;\Longrightarrow\; l(T) = l_0(1 + \lambda\,\Delta T)$$

con $\lambda$ coefficiente di dilatazione lineare (in $1/\text{K}$).

Per il volume, dilatando le tre dimensioni si ha $V = V_0(1 + \lambda\Delta T)^3$. Sviluppando il cubo e trascurando i termini in $\lambda^2$ e $\lambda^3$ (piccolissimi):

$$V(T) = V_0(1 + \lambda\Delta T)^3 \approx V_0(1 + 3\lambda\,\Delta T) = V_0(1 + \alpha\,\Delta T)$$

dove $\alpha = 3\lambda$ è il coefficiente di dilatazione cubica.

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4. L'esperimento di Joule: lavoro = calore

Un mulinello immerso nell'acqua è messo in rotazione da pesi che cadono. L'energia potenziale gravitazionale dei pesi diventa lavoro sul mulinello, che agita l'acqua e ne alza la temperatura. Joule misurò che il lavoro meccanico fornito è proporzionale all'aumento di temperatura, esattamente come se si fosse fornito calore:

$$W_{ad} = -\Delta U = -(U_{fin} - U_{in}) \propto \Delta T$$

Questo stabilisce l'equivalenza tra lavoro e calore: sono due modi di trasferire la stessa cosa, l'energia. Il calore non è un fluido speciale, ma energia in transito (lo confermò la conversione $1\ \text{cal} = 4{,}184\ \text{J}$ vista in Potenza, energia spesa e forza e…). È la base del primo principio della termodinamica.

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5. Il gas perfetto

Per studiare i gas introduciamo un modello ideale, il gas perfetto, valido per un gas rarefatto (bassa densità) e a temperatura molto più alta di quella di liquefazione ($T \gg T_L$). Le sue ipotesi:

• le molecole fanno urti elastici (tra loro e con le pareti);
• non ci sono legami (forze di attrazione) tra le molecole;
• le dimensioni delle molecole sono trascurabili rispetto alle distanze tra di esse.

In queste condizioni le molecole sono "palline" indipendenti che rimbalzano: un modello semplice ma sorprendentemente accurato per i gas reali in condizioni ordinarie.

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6. Il lavoro di un gas

Un gas in un cilindro con pistone può compiere lavoro spingendo il pistone. Se il pistone (area $S$) si sposta di $dh$, il volume cambia di $dV = S\,dh$, e il lavoro è

$$dL = F\,ds = P\,S\,dh = P\,dV \;\Longrightarrow\; \boxed{\;L = \int_A^B P\,dV\;}$$

Graficamente, nel piano $P$–$V$ il lavoro è l'area sotto la curva della trasformazione da $A$ a $B$. Questo è centrale: il lavoro di un gas dipende dal percorso seguito nel piano $P$–$V$, non solo dagli stati iniziale e finale.

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7. Le leggi dei gas

Sperimentalmente, tenendo fissa una delle tre variabili di stato, si trovano relazioni semplici tra le altre due.

7.1 Legge di Boyle (trasformazione isoterma)

A temperatura costante, pressione e volume sono inversamente proporzionali:

$$\boxed{\;P\,V = \text{costante}\;}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2$$

Nel piano $P$–$V$ le isoterme sono iperboli ($P = K/V$); a temperatura più alta corrisponde un'iperbola più "esterna".

7.2 Legge di Gay-Lussac isobara (pressione costante)

A pressione costante, il volume cresce linearmente con la temperatura:

$$V = V_0\,(1 + \alpha\,T[°\text{C}]), \qquad \alpha = \frac{1}{273{,}15}\ °\text{C}^{-1}$$

7.3 Legge di Gay-Lussac isocora (volume costante)

A volume costante, la pressione cresce linearmente con la temperatura:

$$P = P_0\,(1 + \beta\,T[°\text{C}]), \qquad \beta = \alpha = \frac{1}{273{,}15}\ °\text{C}^{-1}$$

Trasformazione	Costante	Legge	Nel piano P-V
Isoterma (Boyle)	$T$	$PV = \text{cost}$	iperbole
Isobara (Gay-Lussac)	$P$	$V = V_0(1+\alpha T)$	segmento orizzontale
Isocora (Gay-Lussac)	$V$	$P = P_0(1+\beta T)$	segmento verticale

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Riepilogo

• Cambiamenti di fase: avvengono a temperatura costante; calore latente $Q = m\lambda$ (fusione, vaporizzazione).
• Scambio di calore: conduzione (Fourier, $dQ = -k\,\tfrac{dT}{dx}\,S\,dt$), convezione, irraggiamento.
• Dilatazione: lineare $l = l_0(1+\lambda\Delta T)$, cubica $V = V_0(1+\alpha\Delta T)$ con $\alpha \approx 3\lambda$. L'acqua è anomala (densità massima a $4\,°\text{C}$).
• Joule: lavoro e calore sono equivalenti (entrambi trasferiscono energia).
• Gas perfetto: rarefatto, urti elastici, niente legami, dimensioni molecolari trascurabili.
• Lavoro di un gas: $L = \int P\,dV$ = area sotto la curva nel piano $P$–$V$; dipende dal percorso.
• Leggi dei gas: Boyle ($PV = \text{cost}$), Gay-Lussac isobara ($V \propto T$) e isocora ($P \propto T$) in kelvin.