Statistica e Probabilità
Appunti del corso di statistica e probabilità: dalla teoria assiomatica di Kolmogorov alle distribuzioni notevoli discrete, con esercizi su combinatoria, variabili aleatorie e disuguaglianze probabilistiche.
Statistica e Probabilità
Appunti del corso di statistica e probabilità, organizzati per lezione. Il corso copre la teoria assiomatica della probabilità e le sue applicazioni al calcolo combinatorio, le variabili aleatorie discrete e le principali distribuzioni notevoli.
Gli argomenti trattati includono: spazi di probabilità e sigma-algebra, calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni, combinazioni), probabilità condizionata e teorema di Bayes, variabili aleatorie discrete con valore atteso e varianza, distribuzioni congiunte e covarianza, disuguaglianze di Markov e Chebyshev, e le principali famiglie di distribuzioni discrete (Bernoulli, Binomiale, Poisson, Geometrica, Ipergeometrica, Multinomiale).
La nota Tipologie di esercizi raccoglie le categorie di esercizi del corso con riferimento agli esercizi svolti, utile per la preparazione all'esame.
Contents
- Introduzione alla probabilità e al calcolo combinatorio Fondamenti della teoria della probabilità: spazi campionari, sigma-algebra, assiomi di Kolmogorov e principi del calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni, combinazioni).
- Proprietà dei binomiali e probabilità condizionata Proprietà di fattoriali e coefficienti binomiali, calcolo di probabilità in spazi equiprobabili, probabilità condizionata e formula di Bayes introdotta tramite esercizi.
- Esercizio: probabilità nel gioco del poker e paradosso dei compleanni Calcolo delle probabilità delle mani del poker a 5 carte tramite combinatoria, e analisi del paradosso dei compleanni con approssimazione di Stirling e probabilità condizionata.
- Teorema di Bayes e indipendenza tra eventi Teorema di Bayes con esempi applicativi (test medico, scelta di corsi), definizione di indipendenza tra eventi multipli e regola del prodotto delle probabilità.
- Esercizio: problema di Monty Hall e variabili aleatorie discrete Risoluzione formale del paradosso di Monty Hall tramite probabilità condizionata, introduzione alle variabili aleatorie discrete con distribuzione, valore atteso e proprietà.
- Distribuzioni congiunte, varianza e covarianza Distribuzioni congiunte di variabili aleatorie discrete, distribuzioni marginali, indipendenza, varianza e covarianza con proprietà e applicazioni a estrazioni con e senza rimpiazzo.
- Proprietà del valore atteso e disuguaglianze probabilistiche Proprietà di linearità del valore atteso, disuguaglianze di Markov, Chebyshev e limite di Chernoff con dimostrazioni e applicazioni alla stima empirica di media e varianza.
- Distribuzioni di probabilità notevoli discrete Presentazione delle principali distribuzioni discrete: Bernoulli, Binomiale, Poisson (con derivazione dal limite della Binomiale), Uniforme, Ipergeometrica e Geometrica.
- Esercizio: distribuzione uniforme e distribuzioni Multinomiale, Min e Max Esercizio sulla distribuzione uniforme (ubriaco con le chiavi), distribuzione Multinomiale, calcolo di distribuzioni congiunte con covarianza, e distribuzioni di minimo e massimo di variabili geometriche.
- Lezione 12 Appunti non ancora trascritti.
- Tipologie di esercizi Raccolta delle tipologie di esercizi del corso, suddivise per argomento (distribuzioni discrete e continue), con riferimenti agli esercizi svolti.