Trasformazione politropica, macchina frigorifera e Carnot con attrito

---

1. La trasformazione politropica

Tutte le trasformazioni viste finora si possono scrivere in un'unica forma, la politropica:

$$\boxed{\;PV^k = \text{costante}\;}$$

dove l'esponente $k$ cambia da una trasformazione all'altra. Ricaviamo il calore molare $C_k$ associato. Dal primo principio $nC_V\,dT = nC_k\,dT - P\,dV$, cioè $P\,dV = n(C_k - C_V)\,dT$; sostituendo $P = nRT/V$ e integrando, si arriva alla forma $PV^k = \text{cost}$ con

$$\boxed{\;C_k = C_V + \frac{R}{1 - k}\;}$$

1.1 Le quattro trasformazioni come casi particolari

Trasformazione	$k$	$C_k$
Isobara ($P$ costante)	$0$	$C_V + R = C_P$
Isoterma ($T$ costante)	$1$	$\infty$
Isocora ($V$ costante)	$\infty$	$C_V$
Adiabatica ($Q = 0$)	$\gamma$	$0$

---

2. Ripasso: il rendimento di Carnot

Per una macchina termica, il rendimento è (vedi Trasformazioni termodinamiche, c…)

$$\eta = \frac{W}{Q_{ass}} = \frac{Q_{ass} + Q_{ced}}{Q_{ass}} = 1 - \frac{|Q_{ced}|}{Q_{ass}}$$

Per il ciclo di Carnot (due isoterme a $T_2$ e $T_1$, due adiabatiche), il calore è scambiato solo nelle isoterme:

$$Q_{ass} = Q_{AB} = nRT_2\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad Q_{ced} = Q_{CD} = nRT_1\ln\frac{V_D}{V_C}$$

Le due adiabatiche impongono $\dfrac{V_B}{V_A} = \dfrac{V_C}{V_D}$, quindi i logaritmi si semplificano e resta la celebre formula:

$$\boxed{\;\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_1}{T_2}\;}$$

che dipende solo dalle due temperature (in kelvin) ed è il rendimento massimo possibile tra quelle sorgenti.

---

3. La macchina frigorifera

Percorrendo il ciclo di Carnot al contrario (verso antiorario) si ottiene una macchina frigorifera: si fornisce lavoro dall'esterno ($W < 0$) per estrarre calore $Q_{ass}$ dalla sorgente fredda $T_1$ e cederlo $Q_{ced}$ alla sorgente calda $T_2$. È ciò che fa un frigorifero (sposta calore da dentro, freddo, a fuori, caldo).

L'efficienza di un frigorifero si misura con il coefficiente di prestazione (COP): quanto calore estrae per unità di lavoro speso:

$$\xi = \frac{Q_{ass}}{|W|} = \frac{Q_{ass}}{|Q_{ass} + Q_{ced}|}$$

Per un frigorifero di Carnot, ripetendo i conti con le isoterme e le adiabatiche, si ottiene

$$\boxed{\;\xi_{Carnot} = \frac{T_1}{T_2 - T_1}\;}$$

---

4. Un ciclo di Carnot con attrito (Es. 12.27)

Un ciclo di Carnot (gas monoatomico, $C_V = \tfrac{3}{2}R$, $\gamma = \tfrac{5}{3}$) ha $V_A = 10^{-1}\ \text{m}^3$, $P_A = 1{,}013\ \text{bar}$, $T_1 = 290\ \text{K}$. Assorbe $Q_{ass} = 8933\ \text{J}$ e produce lavoro $W = 1930\ \text{J}$. C'è attrito sul pistone ($F = 500\ \text{N}$, area $S = 10^3\ \text{cm}^2$). Trovare $T_2$, il numero di moli, i volumi, e il rendimento reale.

Temperatura calda $T_2$. Idealmente $\eta = \dfrac{W}{Q_{ass}} = 1 - \dfrac{T_1}{T_2}$. Risolvendo per $T_2$:

$$T_2 = \frac{T_1}{1 - \dfrac{W}{Q_{ass}}} = \frac{290}{1 - \dfrac{1930}{8933}} = \frac{290}{0{,}784} \approx 370\ \text{K}$$

con rendimento ideale $\eta = W/Q_{ass} \approx 0{,}22$.

Numero di moli dall'equazione di stato in $A$:

$$n = \frac{P_A V_A}{R T_1} = \frac{1{,}013\times 10^5\cdot 0{,}1}{8{,}314\cdot 290} \approx 4{,}2\ \text{mol}$$

Volumi. Lungo l'isoterma, $Q = W = nRT\ln(V_B/V_A)$, da cui si ricava $V_B$ invertendo il logaritmo ($V_B \approx 0{,}05\ \text{m}^3$). Lungo l'adiabatica, $T V^{\gamma-1} = \text{cost}$ dà $V_C = V_B\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^{1/(\gamma-1)} \approx 0{,}035\ \text{m}^3$.

Rendimento reale (con attrito). L'attrito sul pistone dissipa lavoro $W_{att} = 2F\,\Delta h$, dove $\Delta h = \dfrac{V_A - V_C}{S} \approx 0{,}65\ \text{m}$ è la corsa del pistone, e il fattore 2 tiene conto dell'andata e ritorno:

$$W_{att} = 2F\,\Delta h \approx 653\ \text{J}$$

Il lavoro utile è quello ideale meno quello perso per attrito, quindi il rendimento reale è

$$\eta_{reale} = \frac{W - W_{att}}{Q_{ass}} = \frac{1930 - 653}{8933} \approx 0{,}14$$

cioè circa il 66% del rendimento ideale ($\eta_{reale} \approx 0{,}66\,\eta_{ideale}$). L'attrito non sparisce: riduce concretamente la frazione di calore convertita in lavoro utile.

---

Riepilogo

• Politropica: $PV^k = \text{cost}$ unifica le trasformazioni, con calore molare $C_k = C_V + \dfrac{R}{1-k}$.
  • $k = 0$ isobara ($C_k = C_P$), $k = 1$ isoterma ($C_k = \infty$), $k = \infty$ isocora ($C_k = C_V$), $k = \gamma$ adiabatica ($C_k = 0$).
• Rendimento di Carnot: $\eta = 1 - \dfrac{T_1}{T_2}$ (massimo possibile tra due temperature).
• Macchina frigorifera: ciclo di Carnot inverso; coefficiente di prestazione $\xi = \dfrac{Q_{ass}}{|W|} = \dfrac{T_1}{T_2 - T_1}$ (può superare 1).
• Attrito: riduce il rendimento, $\eta_{reale} = \dfrac{W - W_{att}}{Q_{ass}}$, a una frazione di quello ideale.