Introduzione alla termodinamica, temperatura e calore

---

1. Perché la termodinamica

Con la meccanica sappiamo descrivere il moto di un corpo con $\vec F = m\vec a$. Ma un gas in un recipiente contiene un numero enorme di molecole (dell'ordine di $N_A \sim 10^{23}$): è impensabile scrivere e risolvere un'equazione del moto per ciascuna.

La termodinamica cambia strategia: rinuncia a seguire le singole particelle e descrive il sistema con poche grandezze macroscopiche (temperatura, pressione, volume), che riassumono il comportamento collettivo di miliardi di miliardi di molecole. Compare anche una nuova forma di energia, il calore, legato proprio all'agitazione microscopica.

---

2. Il sistema termodinamico

Per studiare un fenomeno dividiamo l'universo in tre parti:

• il sistema: la porzione che studiamo (per esempio il gas nel recipiente);
• l'ambiente: tutto ciò che lo circonda e con cui può interagire;
• l'universo termodinamico: sistema + ambiente insieme.

A seconda di cosa il sistema può scambiare con l'ambiente:

Tipo di sistema	Scambia materia	Scambia energia
Aperto	sì	sì
Chiuso	no	sì
Isolato	no	no

2.1 Le variabili di stato

Lo stato di un sistema all'equilibrio si descrive con poche grandezze macroscopiche. Le principali:

• temperatura $T$, pressione $P$, volume $V$ (le tre variabili di stato fondamentali);
• massa $m$, densità $\rho = \dfrac{m}{V}$ in $\text{kg/m}^3$;
• calore $Q$ (scambiato, non una proprietà dello stato).

2.2 Equilibrio termodinamico

Un sistema è in equilibrio termodinamico quando le sue variabili di stato sono costanti nel tempo e uniformi. Questo richiede tre equilibri contemporanei:

• meccanico: pressione uniforme (niente spinte sbilanciate);
• termico: temperatura uniforme (niente flussi di calore interni);
• chimico: composizione stabile (niente reazioni in corso).

---

3. Il principio zero e la temperatura

Le tre variabili di stato non sono indipendenti: sono legate da un'equazione di stato $f(P, V, T) = 0$, che permette di esprimerne una in funzione delle altre due, per esempio $T(P, V)$.

3.1 Il principio zero

Principio zero della termodinamica. Se due sistemi $A$ e $B$ sono ciascuno in equilibrio termico con un terzo sistema $C$, allora sono in equilibrio termico anche tra loro.

$$T_A = T_C \;\text{ e }\; T_B = T_C \;\Longrightarrow\; T_A = T_B$$

Sembra ovvio, ma è proprio ciò che dà senso al concetto di temperatura: esiste una grandezza (la temperatura) tale che due corpi in equilibrio termico hanno lo stesso valore. È anche il principio che rende possibile il termometro: il sistema $C$ è lo strumento, che messo a contatto con $A$ e con $B$ ne confronta le temperature.

3.2 I termometri

Un termometro sfrutta una proprietà fisica $X$ che varia con la temperatura, tramite una funzione termometrica $T = \theta(X)$. Esempi:

Termometro	Proprietà che varia
a liquido	dilatazione (lunghezza $\Delta L$)
a resistenza	resistenza elettrica $\Delta R$
a gas	pressione $\Delta P$ (a volume costante)
termocoppia	tensione elettrica $\Delta V$

Nel caso più semplice la relazione è lineare, $T = \theta(X) = a\,X$. La costante $a$ si fissa con un punto di riferimento universale, il punto triplo dell'acqua (dove coesistono ghiaccio, acqua e vapore), a cui si assegna per definizione

$$T_{pt} = 273{,}16\ \text{K} = a\,X_{pt} \;\Longrightarrow\; a = \frac{273{,}16}{X_{pt}}$$

da cui, per un termometro tarato su quel punto:

$$T = 273{,}16\cdot\frac{X}{X_{pt}}$$

3.3 Le scale di temperatura

• Kelvin (K): la scala assoluta del SI. Fusione del ghiaccio a $273{,}15\ \text{K}$, ebollizione dell'acqua a $373{,}15\ \text{K}$.
• Celsius (°C): stessa "ampiezza" di grado ($1\,°\text{C} = 1\,\text{K}$), ma origine spostata alla fusione del ghiaccio:

$$T[°\text{C}] = T[\text{K}] - 273{,}15$$

• Fahrenheit (°F): scala anglosassone, con $0\,°\text{F}$ e $100\,°\text{F}$ definiti storicamente (miscela ghiaccio-sale e temperatura corporea):

$$T[°\text{F}] = \frac{9}{5}\,T[°\text{C}] + 32$$

---

4. La pressione

La pressione è la forza esercitata perpendicolarmente su una superficie, per unità di area:

$$P = \frac{F}{S} \qquad [P] = \frac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa (pascal)}$$

4.1 La legge di Stevino

In un fluido la pressione aumenta con la profondità, per il peso della colonna di fluido sovrastante. Partendo da $P = \dfrac{F}{S} = \dfrac{mg}{S} = \dfrac{\rho V g}{S} = \dfrac{\rho\,S\,h\,g}{S} = \rho g h$, si ottiene la legge di Stevino:

$$\boxed{\;P = P_0 + \rho\,g\,h\;}$$

dove $P_0$ è la pressione in superficie e $h$ la profondità. È il principio dei manometri a U, usati anche nei termometri a gas a volume costante (la pressione del gas segnala la temperatura).

---

5. Il calore

Mettendo a contatto due corpi a temperatura diversa, l'esperienza dice che il più caldo si raffredda e il più freddo si scalda, finché raggiungono la stessa temperatura. Ciò che passa dall'uno all'altro è il calore $Q$, una forma di energia (si misura in joule):

5.1 Calore specifico e capacità termica

Per scaldare un corpo di un piccolo $dT$ serve una quantità di calore proporzionale alla massa e alla variazione di temperatura:

$$dQ = m\,c_s\,dT = C\,dT$$

dove:

• $c_s$ è il calore specifico (in $\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})$): proprietà intensiva del materiale, dice quanto è "difficile" scaldarlo;
• $C = m\,c_s$ è la capacità termica (in $\text{J}/\text{K}$): proprietà estensiva dell'oggetto specifico.

Per una variazione finita (con $c_s$ circa costante):

$$Q = m\int c_s\,dT \approx m\,c_s\,\Delta T = C\,\Delta T$$

5.2 Calorimetria: la temperatura di equilibrio

Mettiamo a contatto due corpi $A$ (caldo, $T_C$) e $B$ (freddo, $T_F$), isolati dall'esterno. Il calore ceduto da $A$ è assorbito da $B$, finché raggiungono la temperatura comune $T_e$:

$$Q_{ass}^B = m_B\,c_s^B\,(T_e - T_F) \qquad Q_{ced}^A = m_A\,c_s^A\,(T_e - T_C)$$

Per la conservazione dell'energia, ciò che uno cede l'altro lo assorbe: $Q_{ced}^A = -Q_{ass}^B$. Sostituendo e risolvendo per $T_e$:

$$\boxed{\;T_e = \frac{m_A\,c_s^A\,T_C + m_B\,c_s^B\,T_F}{m_A\,c_s^A + m_B\,c_s^B} = \frac{C_A\,T_C + C_B\,T_F}{C_A + C_B}\;}$$

La temperatura di equilibrio è una media pesata delle temperature iniziali, con pesi le capacità termiche: il corpo con capacità termica maggiore "tira" $T_e$ verso la propria temperatura.

---

6. Esercizi

6.1 Scaldare una lastra di vetro (Es. 29 cap. 16, Walker)

$m = 55\ \text{g} = 0{,}055\ \text{kg}$ di vetro ($c_v = 628\ \text{J}/(\text{kg·K})$), riscaldato di $\Delta T = 15\,°\text{C}$. Quanto calore serve?

$$Q = m\,c_v\,\Delta T = 0{,}055\cdot 628\cdot 15 \approx 518\ \text{J}$$

(ricordando che $\Delta T[°\text{C}] = \Delta T[\text{K}]$).

6.2 Proiettile che si scalda (Es. 31 cap. 16)

Un proiettile ($m = 5\ \text{g} = 0{,}005\ \text{kg}$, $c_p = 129{,}8\ \text{J}/(\text{kg·K})$) viaggia a $v_i = 250\ \text{m/s}$. Nell'impatto metà della sua energia cinetica si trasforma in calore che lo scalda. Di quanto aumenta la temperatura?

Energia cinetica iniziale e calore assorbito:

$$K_i = \frac{1}{2}m\,v_i^2 = \frac{1}{2}\cdot 0{,}005\cdot 250^2 \approx 156\ \text{J} \;\Longrightarrow\; Q_{ass} = \frac{K_i}{2} \approx 78\ \text{J}$$ $$\Delta T = \frac{Q_{ass}}{m\,c_p} = \frac{78}{0{,}005\cdot 129{,}8} \approx 120\ \text{K} = 120\,°\text{C}$$

6.3 Quanti oggetti d'argento? (Es. 29 cap. 16, Walker)

In $m_{H_2O} = 0{,}22\ \text{kg}$ di acqua a $T_{H_2O} = 14\,°\text{C}$ si immergono pezzetti d'argento da $m_p = 10^{-3}\ \text{kg}$ ciascuno ($c_{Ag} = 234\ \text{J}/(\text{kg·K})$) a $T_p = 85\,°\text{C}$. All'equilibrio $T_e = 25\,°\text{C}$. Quanti pezzetti $\#_p$ sono stati immersi?

Calore ceduto dai pezzetti = calore assorbito dall'acqua ($Q_{ced} = -Q_{ass}$):

$$\#_p\,m_p\,c_{Ag}\,(T_p - T_e) = m_{H_2O}\,c_{H_2O}\,(T_e - T_{H_2O})$$ $$\#_p = \frac{m_{H_2O}\,c_{H_2O}\,(T_e - T_{H_2O})}{m_p\,c_{Ag}\,(T_p - T_e)} = \frac{0{,}22\cdot 4186\cdot(25 - 14)}{10^{-3}\cdot 234\cdot(85 - 25)} \approx 721$$

Servono circa 721 pezzetti: nonostante l'argento sia molto più caldo, il suo basso calore specifico e la piccola massa fanno sì che ne occorrano tantissimi per scaldare l'acqua di soli 11 gradi.

---

Riepilogo

• La termodinamica descrive sistemi di moltissime particelle con grandezze macroscopiche.
• Sistema (aperto/chiuso/isolato), ambiente, universo. Variabili di stato: $P, V, T$ (legate da $f(P,V,T)=0$).
• Grandezze estensive ($m, V, C$) e intensive ($T, P, \rho, c_s$).
• Principio zero: $T_A = T_C$ e $T_B = T_C \Rightarrow T_A = T_B$: dà senso alla temperatura e ai termometri.
• Scale: $T[°\text{C}] = T[\text{K}] - 273{,}15$; $T[°\text{F}] = \tfrac{9}{5}T[°\text{C}] + 32$; $\Delta T[°\text{C}] = \Delta T[\text{K}]$.
• Pressione: $P = F/S$ [Pa]; Stevino: $P = P_0 + \rho g h$.
• Calore: $Q$ [J], energia in transito. $dQ = m c_s\,dT = C\,dT$, con $C = m c_s$.
• Calorimetria: $T_e = \dfrac{C_A T_C + C_B T_F}{C_A + C_B}$ (media pesata sulle capacità termiche).