Problemi con l'attrito e introduzione ai vettori

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1. Problema 3.1 (Mazzoldi): ricavare l'attrito dinamico

Un corpo di massa $m = 0{,}5\ \text{kg}$ scivola su un piano e la sua velocità è $v(t) = 25 - 1{,}47\,t$ (in m/s). Trovare: (a) la forza d'attrito $F_a$; (b) il coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$.

(a) La velocità decresce nel tempo: l'unica forza orizzontale è l'attrito, che frena il corpo. L'accelerazione è la derivata della velocità:

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(25 - 1{,}47\,t) = -1{,}47\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

(il termine costante $25 = v_0$ sparisce derivando, e resta il coefficiente di $t$). Dal secondo principio, in modulo:

$$F_a = m\,|a| = 0{,}5\cdot 1{,}47 \approx 0{,}73\ \text{N}$$

(b) Sul piano orizzontale la reazione normale bilancia il peso: dal secondo principio lungo la verticale $N - P = 0$, quindi $N = mg$. L'attrito dinamico è $F_{ad} = \mu_d N$, da cui

$$\mu_d = \frac{F_{ad}}{N} = \frac{F_{ad}}{mg} = \frac{0{,}73}{0{,}5\cdot 10} = \frac{0{,}73}{5} \approx 0{,}15$$

Un coefficiente piccolo, tipico di una superficie piuttosto liscia.

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2. Problema d'esame: corpo contro una parete verticale

Un corpo di massa $m = 1{,}2\ \text{kg}$ è premuto contro una parete verticale da una forza orizzontale $F$. Il coefficiente di attrito statico tra corpo e parete è $\mu_s = 0{,}4$. (a) Qual è il valore minimo di $F$ per tenere fermo il corpo nel punto $A$? (b) A un certo istante $F$ viene dimezzata, il corpo inizia a scivolare: quanto vale l'accelerazione ($\mu_d = 0{,}3$)? (c) Con quale velocità arriva nel punto $B$, sapendo che $\overline{AB} = 2{,}6\ \text{m}$?

Questa è la situazione interessante: qui è l'attrito (verticale) a sostenere il peso, mentre la spinta orizzontale serve solo a "schiacciare" il corpo contro la parete per generare la reazione normale.

2.1 (a) Forza minima per tenere fermo il corpo

Scriviamo il secondo principio lungo i due assi (corpo fermo, accelerazione nulla):

$$\text{orizzontale }(x):\quad N - F = 0 \;\Longrightarrow\; N = F$$ $$\text{verticale }(y):\quad F_a - P = m\,a$$

La forza è minima nel caso limite tra statico e dinamico: il corpo è sul punto di scivolare, quindi $a = 0$ e l'attrito ha raggiunto il suo massimo, $F_a = F_{as,max} = \mu_s N$. La condizione verticale diventa:

$$F_{as,max} - mg = 0 \;\Longrightarrow\; \mu_s N - mg = \mu_s F - mg = 0$$

da cui

$$\boxed{\;F_{min} = \frac{mg}{\mu_s}\;} = \frac{1{,}2\cdot 10}{0{,}4} = 30\ \text{N}$$

Sotto i $30\ \text{N}$ l'attrito non basta a reggere il peso e il corpo scivola; sopra, resta fermo.

2.2 (b) Accelerazione dopo aver dimezzato $F$

Ora $F$ viene dimezzata: $F = 30/2 = 15\ \text{N}$. Sotto la soglia minima, il corpo scivola verso il basso; subentra l'attrito dinamico $F_{ad} = \mu_d N$ (diretto verso l'alto, oppostamente al moto). Le equazioni:

$$x:\quad N = F = 15\ \text{N}$$ $$y:\quad F_{ad} - mg = m\,a \;\Longrightarrow\; \mu_d F - mg = m\,a$$ $$a = \frac{\mu_d F}{m} - g = \frac{0{,}3\cdot 15}{1{,}2} - 10 = 3{,}75 - 10 \approx -6{,}2\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$

Il segno negativo indica accelerazione verso il basso: il corpo scende sempre più veloce.

2.3 (c) Velocità nel punto $B$

Il corpo parte da fermo in $A$ e scivola di moto uniformemente accelerato fino a $B$, con $\overline{AB} = 2{,}6\ \text{m}$. Misurando la posizione verticale $y$ (con $B$ all'origine), la legge oraria è

$$y(t) = \overline{AB} + \frac{1}{2}a\,t^2$$

Il corpo arriva in $B$ quando $y(t_B) = 0$:

$$0 = \overline{AB} + \frac{1}{2}a\,t_B^2 \;\Longrightarrow\; t_B = \sqrt{-\frac{2\,\overline{AB}}{a}} = \sqrt{-\frac{2\cdot 2{,}6}{-6{,}2}} \approx 0{,}9\ \text{s}$$

e la velocità in $B$ è

$$v_B = a\,t_B = -6{,}2\cdot 0{,}9 \approx -6\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

cioè circa $6\ \text{m/s}$ verso il basso.

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3. I vettori

Molte grandezze fisiche (forza, velocità, accelerazione) non sono numeri puri: hanno anche una direzione. Per descriverle servono i vettori.

3.1 Che cos'è un vettore

Un vettore $\vec A$ è caratterizzato da quattro elementi:

• modulo (o intensità): la sua "lunghezza", un numero non negativo;
• direzione: la retta su cui giace;
• verso: l'orientamento lungo quella retta (indicato dalla punta della freccia);
• punto di applicazione: il punto da cui parte.

3.2 Coordinate cartesiane

Nel piano, un vettore si descrive con le sue due componenti lungo gli assi:

$$\vec A \equiv (A_x,\, A_y)$$

Il modulo si ottiene con il teorema di Pitagora applicato alle componenti:

$$A = \|\vec A\| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$$

3.3 Coordinate polari

In alternativa, un vettore si descrive con il suo modulo $A$ e l'angolo $\theta$ che forma con l'asse $x$:

$$\vec A \equiv (A,\, \theta)$$

Le due descrizioni sono collegate dalla trigonometria. Da polari a cartesiane:

$$A_x = A\cos\theta, \qquad A_y = A\sin\theta$$

Da cartesiane a polari (modulo come sopra, e per l'angolo):

$$\frac{A_y}{A_x} = \frac{A\sin\theta}{A\cos\theta} = \tan\theta \;\Longrightarrow\; \theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{A_y}{A_x}\right)$$

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4. Somma di vettori

I vettori non si sommano come i numeri: bisogna tener conto della direzione.

4.1 Metodo grafico (regola del triangolo)

Per sommare $\vec A$ e $\vec B$ si dispone la coda di $\vec B$ sulla punta di $\vec A$; il vettore somma $\vec C$ va dalla coda di $\vec A$ alla punta di $\vec B$:

4.2 Metodo per componenti

Molto più pratico nei calcoli: si sommano le componenti una per una. Se $\vec A \equiv (A_x, A_y)$ e $\vec B \equiv (B_x, B_y)$, allora

$$\boxed{\;\vec C = \vec A + \vec B \equiv (A_x + B_x,\; A_y + B_y)\;}$$

Questo è il grande vantaggio delle componenti: un'operazione tra vettori si riduce a operazioni separate tra numeri, asse per asse. Lo useremo costantemente per scomporre le forze e applicare il secondo principio lungo ciascuna direzione.

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Riepilogo

• Attrito dinamico: da una decelerazione misurata si ricava $\mu_d = \dfrac{F_{ad}}{mg}$ (Problema 3.1: $\mu_d \approx 0{,}15$).
• Corpo su parete verticale: è l'attrito a reggere il peso. Forza minima $F_{min} = \dfrac{mg}{\mu_s}$; sotto di essa il corpo scivola con accelerazione $a = \dfrac{\mu_d F}{m} - g$.
• Vettore: modulo, direzione, verso, punto di applicazione.
• Cartesiane: $\vec A \equiv (A_x, A_y)$, con modulo $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$.
• Polari: $\vec A \equiv (A, \theta)$, con $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$, $\theta = \tan^{-1}(A_y/A_x)$.
• Somma: graficamente con la regola del triangolo; nei calcoli sommando le componenti: $\vec C = (A_x + B_x,\; A_y + B_y)$.