Il moto armonico semplice

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1. L'equazione del moto armonico

Consideriamo una massa $m$ attaccata a una molla orizzontale, libera di oscillare. Scegliamo l'origine $O$ nella posizione di equilibrio (molla a riposo): così la forza elastica è semplicemente $F = -kx$ (vedi Potenza, energia spesa e forza e…).

Applichiamo il secondo principio. Con $F = ma = m\ddot x$ (dove $\ddot x = d^2x/dt^2$ è l'accelerazione):

$$m\,\ddot x = -kx \;\Longrightarrow\; \ddot x + \frac{k}{m}\,x = 0$$

Ponendo $\omega^2 = \dfrac{k}{m}$ otteniamo l'equazione del moto armonico semplice:

$$\boxed{\;\ddot x + \omega^2 x = 0\;}\qquad\text{cioè}\qquad \ddot x = -\omega^2 x$$

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2. La soluzione: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

La funzione che soddisfa l'equazione è una sinusoide:

$$\boxed{\;x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)\;}$$

Verifichiamolo derivando due volte:

$$v(t) = \dot x = -A\,\omega\sin(\omega t + \varphi)$$ $$a(t) = \ddot x = -A\,\omega^2\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$$

L'ultima uguaglianza è proprio l'equazione del moto: la soluzione funziona. I tre parametri hanno un significato preciso:

• $A$ è l'ampiezza: lo spostamento massimo dall'equilibrio;
• $\omega$ è la pulsazione (in rad/s), fissata dal sistema ($\omega = \sqrt{k/m}$);
• $\varphi$ è la fase iniziale: dice "a che punto" dell'oscillazione siamo a $t = 0$.

2.1 Pulsazione, periodo, frequenza

Controlliamo le dimensioni di $\omega$. Da $\omega^2 = k/m$:

$$[\omega^2] = \frac{\text{N/m}}{\text{kg}} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}{\text{m}\cdot\text{kg}} = \frac{1}{\text{s}^2} \;\Longrightarrow\; [\omega] = \frac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Il moto si ripete dopo un periodo $T$, legato alla pulsazione, e la frequenza $\nu$ è il numero di oscillazioni al secondo:

$$\boxed{\;T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\;}\qquad \nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

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3. Fissare $A$ e $\varphi$ dalle condizioni iniziali

La forma $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ vale per ogni oscillazione; ciò che cambia da un caso all'altro sono $A$ e $\varphi$, determinati da posizione e velocità iniziali.

3.1 Partenza da fermo all'estremo

A $t = 0$ la massa è ferma a distanza $A_0$ dall'equilibrio: $x(0) = A_0$, $v(0) = 0$.

Imponiamo le condizioni nella soluzione generale:

$$x(0) = A\cos\varphi = A_0 \qquad v(0) = -A\omega\sin\varphi = 0$$

Dalla seconda $\sin\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = 0$ (oppure $\varphi = \pi$); scegliendo $\varphi = 0$ la prima dà $A = A_0$. Quindi:

$$x(t) = A_0\cos(\omega t)$$

L'oscillazione parte dal massimo e descrive un coseno puro.

Quando la posizione è massima la velocità è nulla (inversione del moto), e quando passa per l'equilibrio la velocità è massima: i due grafici sono "sfasati" di un quarto di periodo.

3.2 Partenza dall'equilibrio con velocità

A $t = 0$ la massa passa per l'equilibrio con velocità $v_i$: $x(0) = 0$, $v(0) = -v_i$.

$$x(0) = A\cos\varphi = 0 \;\Rightarrow\; \varphi = \pm\frac{\pi}{2} \qquad v(0) = -A\omega\sin\varphi = -v_i \;\Rightarrow\; A = \frac{v_i}{\omega}$$

L'ampiezza è $A = v_i/\omega$: più veloce è il lancio, più ampia l'oscillazione. La soluzione (con $\varphi = \pi/2$) è

$$x(t) = \frac{v_i}{\omega}\cos\!\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$$

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4. L'energia nell'oscillazione

Calcoliamo come si distribuiscono energia cinetica ed elastica durante il moto. Con $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$, $v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$ e $\omega^2 = k/m$:

$$K(t) = \frac{1}{2}m\,v^2 = \frac{1}{2}m\,A^2\omega^2\sin^2(\omega t + \varphi) = \frac{1}{2}k\,A^2\sin^2(\omega t + \varphi)$$ $$U_{el}(t) = \frac{1}{2}k\,x^2 = \frac{1}{2}k\,A^2\cos^2(\omega t + \varphi)$$

L'energia meccanica totale è la somma:

$$E_m = K + U_{el} = \frac{1}{2}k\,A^2\big[\underbrace{\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi)}_{= 1}\big]$$ $$\boxed{\;E_m = \frac{1}{2}k\,A^2 = \text{costante}\;}$$

4.1 Velocità in funzione della posizione

Dalla conservazione $\tfrac{1}{2}mv^2 + \tfrac{1}{2}kx^2 = \tfrac{1}{2}kA^2$ si ricava la velocità a ogni posizione $x$:

$$mv^2 = k(A^2 - x^2) \;\Longrightarrow\; v = \pm\sqrt{\frac{k}{m}(A^2 - x^2)} = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$$

Massima all'equilibrio ($x = 0$: $v_{max} = \omega A$), nulla agli estremi ($x = \pm A$).

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5. Esercizio (27/01/2009): trovare la costante elastica

Una massa $m = 3\ \text{kg}$ oscilla su una molla con ampiezza $X = 15\ \text{cm}$. Partendo dall'estremo, impiega $t_1 = 0{,}5\ \text{s}$ per arrivare alla posizione di equilibrio. Trovare la costante elastica $k$.

Partenza da fermo all'estremo: come nel § 3.1, $x(t) = X\cos(\omega t)$, con $A = X$ e $\varphi = 0$.

Il passaggio dall'estremo all'equilibrio è un quarto di oscillazione. Imponendo $x(t_1) = 0$:

$$X\cos(\omega t_1) = 0 \;\Longrightarrow\; \omega t_1 = \frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; \omega = \frac{\pi}{2 t_1} = \frac{\pi}{2\cdot 0{,}5} = \pi\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}$$

Da $\omega^2 = k/m$ si ricava la costante elastica:

$$k = \omega^2 m = \pi^2\cdot 3 \approx 30\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$$

(in aula, con $\pi^2 \approx 9$, si ottiene $k \approx 27\ \text{N/m}$). La velocità di passaggio per l'equilibrio è quella massima:

$$v_{max} = \omega X = \pi\cdot 0{,}15 \approx 0{,}47\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

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Riepilogo

• Equazione del moto armonico: $\ddot x + \omega^2 x = 0$, con $\omega^2 = k/m$. La firma: $a = -\omega^2 x$ (richiamo proporzionale e opposto allo spostamento).
• Soluzione: $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$; $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$. $A$ ampiezza, $\omega$ pulsazione, $\varphi$ fase iniziale.
• Periodo e frequenza: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{m/k}$ (indipendente dall'ampiezza), $\nu = 1/T$.
• $A$ e $\varphi$ si fissano dalle condizioni iniziali $x(0)$ e $v(0)$.
• Energia: $K$ e $U_{el}$ oscillano, ma $E_m = K + U_{el} = \tfrac{1}{2}kA^2$ è costante. Velocità: $v = \pm\omega\sqrt{A^2 - x^2}$.