Introduzione al corso e cinematica del punto materiale

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1. Che cos'è la fisica

La fisica è la scienza che studia la natura. Il suo obiettivo è descrivere e prevedere i fenomeni del mondo che ci circonda usando un numero ristretto di principi, cioè poche leggi generali, e il linguaggio della matematica.

L'idea di fondo, che ci accompagnerà per tutto il corso, è questa: invece di trattare ogni fenomeno come un caso isolato, cerchiamo leggi generali da cui i casi particolari discendano come conseguenze. Questi sono i principi (per esempio i principi della dinamica, che vedremo più avanti), e da essi, con la matematica, deduciamo il comportamento dei sistemi.

Partiamo dalla parte più semplice della meccanica, la cinematica.

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2. Il punto materiale

Il primo modello che introduciamo è il punto materiale, un oggetto a cui attribuiamo una massa ma di cui trascuriamo le dimensioni, immaginandolo concentrato in un punto di volume nullo.

Da questa scelta seguono tre caratteristiche:

• ha volume zero;
• non avendo estensione, non ha un'orientazione nello spazio e non può ruotare su sé stesso (trascuriamo la rotazione);
• l'unica grandezza che lo descrive è la sua posizione.

Si tratta di un'idealizzazione, utile perché semplifica enormemente i conti ogni volta che le dimensioni e la rotazione del corpo non contano per il problema in esame. La sua validità dipende dalle scale in gioco: il modello è adeguato quando le dimensioni dell'oggetto sono molto più piccole del tragitto che percorre.

La massa è la proprietà che il punto materiale conserva. Per ora la possiamo pensare come la quantità di materia dell'oggetto; ne daremo una definizione rigorosa con la dinamica, collegandola all'inerzia, cioè alla resistenza che un corpo oppone a cambiare il proprio stato di moto.

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3. Spazio e tempo: grandezze, unità, dimensioni

Per descrivere il moto ci servono due grandezze fondamentali, lo spazio e il tempo:

Grandezza	Unità di misura (SI)	Dimensione
Spazio	metro (m)	$[L]$
Tempo	secondo (s)	$[T]$

Misurare una grandezza significa confrontarla con un campione scelto come riferimento, l'unità di misura. Nel Sistema Internazionale (SI) l'unità dello spazio è il metro e quella del tempo è il secondo.

Le parentesi quadre indicano le dimensioni fisiche: $[L]$ sta per lunghezza (length) e $[T]$ per tempo (time). Le dimensioni ci dicono di che tipo è una grandezza, indipendentemente dall'unità con cui la misuriamo.

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4. Moto unidimensionale e sistema di riferimento

Cominciamo dal caso più semplice possibile, il moto unidimensionale, in cui il punto si muove lungo una retta. In questa situazione per descrivere il moto basta una sola coordinata, perché la posizione è individuata da un unico numero, la coordinata $x$.

Per assegnare questo numero dobbiamo prima fissare un sistema di riferimento sulla retta:

Servono tre ingredienti:

1. un'origine $O$, il punto a cui assegniamo coordinata $x = 0$;
2. un verso positivo (la freccia), che stabilisce da che parte cresce $x$;
3. un'unità di misura (il metro), che fissa la scala delle tacche.

Scelti questi tre elementi, a ogni istante di tempo $t$ corrisponde una posizione $x$. La legge oraria del moto è proprio questa corrispondenza:

$$x = x(t)$$

cioè una funzione che a ogni tempo associa la posizione. Tutta la cinematica unidimensionale consiste nello studiare questa funzione.

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5. La velocità

Sappiamo dire dov'è il punto a ogni istante. Vogliamo ora descrivere quanto rapidamente cambia la sua posizione, e a questo serve la velocità.

5.1 Un esempio numerico

Consideriamo un punto che si muove sull'asse e registriamo la sua posizione a quattro istanti successivi. Agli istanti $t = 0, 1, 2, 3$ il punto si trova rispettivamente nelle posizioni $x = 0, 1, 3, 2$: prima avanza fino a $x = 3$ e poi torna indietro a $x = 2$.

$t$ (s)	$x$ (m)	$v$ (m/s)
0	0	$\frac{1}{1} = +1$
1	1	$\frac{2}{1} = +2$
2	3	$\frac{-1}{1} = -1$
3	2	/

La colonna $v$ si ottiene facendo, per ogni intervallo, lo spostamento diviso il tempo impiegato:

• da $t=0$ a $t=1$: lo spostamento è $\Delta x = 1 - 0 = 1$ in $\Delta t = 1$, quindi $v = \tfrac{1}{1} = +1$ m/s;
• da $t=1$ a $t=2$: $\Delta x = 3 - 1 = 2$ in $\Delta t = 1$, quindi $v = \tfrac{2}{1} = +2$ m/s;
• da $t=2$ a $t=3$: $\Delta x = 2 - 3 = -1$ in $\Delta t = 1$, quindi $v = \tfrac{-1}{1} = -1$ m/s.

Emergono subito due fatti importanti. Primo, la velocità ha un segno: è positiva quando il punto si muove nel verso positivo dell'asse e negativa quando torna indietro, come accade nell'ultimo intervallo. Secondo, la velocità cambia da un intervallo all'altro (+1, +2, −1), quindi il moto non è uniforme.

5.2 Velocità media

Generalizzando il calcolo, la velocità media tra due istanti $t_0$ e $t_1$ è

$$\boxed{\;v_m = \frac{x_1 - x_0}{t_1 - t_0} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\;}$$

dove $\Delta x = x_1 - x_0$ è lo spostamento e $\Delta t = t_1 - t_0$ è l'intervallo di tempo impiegato. La lettera greca $\Delta$ ("delta") indica sempre una variazione, cioè valore finale meno valore iniziale.

La velocità media descrive il comportamento lineare tra i due istanti in cui osserviamo il moto. Riassume in un unico numero come la posizione è cambiata tra inizio e fine dell'intervallo, come se in quel tratto sostituissimo il moto reale con un moto a velocità costante che parte da $x_0$ e arriva a $x_1$ nello stesso tempo. Quanto accade all'interno dell'intervallo resta invisibile a questa descrizione.

Geometricamente, la velocità media è la pendenza della retta secante che unisce i due punti $(t_0, x_0)$ e $(t_1, x_1)$ sul grafico della legge oraria $x(t)$:

Dove la curva sale ripida la velocità media è grande; dove è quasi piatta è piccola; dove scende è negativa.

5.3 Velocità istantanea

Per sapere quanto è veloce il punto in un singolo istante, e non in media su un intervallo, rendiamo l'intervallo di tempo sempre più piccolo. La velocità istantanea è il limite della velocità media quando $\Delta t$ tende a zero:

$$\boxed{\;v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}\;}$$

che per definizione è la derivata della posizione rispetto al tempo. Geometricamente, facendo avvicinare i due punti sul grafico $x(t)$ lo spostamento $\Delta x$ diventa un trattino infinitesimo $dx$, l'intervallo $\Delta t$ diventa $dt$, e la retta secante si trasforma nella retta tangente alla curva in quel punto:

La velocità istantanea è quindi la pendenza della tangente alla curva $x(t)$. Dove la curva sale ripida la velocità è grande; in un massimo o in un minimo, dove la tangente è orizzontale, la velocità è nulla; dove la curva scende la velocità è negativa.

Possiamo riassumere i due livelli di descrizione:

	Velocità media	Velocità istantanea
Formula	$\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$	$\dfrac{dx}{dt}$
Riferita a	un intervallo $[t_0, t_1]$	un istante $t$
Geometria su $x(t)$	pendenza della secante	pendenza della tangente

Nell'esempio numerico del § 5.1 abbiamo calcolato delle velocità medie, un valore per ciascun intervallo. La velocità istantanea ci permette invece di assegnare un valore a ogni istante, ed è lo strumento che useremo da qui in avanti per descrivere il moto in dettaglio.

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Riepilogo

• La fisica descrive la natura a partire da pochi principi; la cinematica descrive il moto senza occuparsi delle sue cause.
• Il punto materiale è un'idealizzazione: un corpo con massa, ma di dimensioni e rotazione trascurabili, di cui interessa solo la posizione. La sua validità dipende dal problema in esame.
• Spazio ($[L]$, metri) e tempo ($[T]$, secondi) sono le grandezze fondamentali della cinematica; le dimensioni servono a controllare la coerenza delle formule.
• Nel moto unidimensionale la posizione è una sola coordinata $x$; il sistema di riferimento richiede origine, verso e unità. Il moto è descritto dalla legge oraria $x(t)$.
• Velocità media: $v_m = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$, pendenza della secante di $x(t)$, riferita a un intervallo.
• Velocità istantanea: $v = \displaystyle\lim_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{dx}{dt}$, pendenza della tangente di $x(t)$, riferita a un singolo istante.