Studio di funzione

🟢 Invertibilità, suriettività, continuità

Una funzione $f: X \to Y$ si dice:

• Iniettiva: se per ogni $x_1, x_2 \in X$, con $x_1 \ne x_2$, si ha $f(x_1) \ne f(x_2)$, cioè se per ogni $y \in Y$ esiste al più un $x \in X$ con $f(x) = y$.
• Suriettiva: se per ogni $y \in Y$ esiste almeno un $x \in X$ con $f(x) = y$.
• Biettiva: se $f$ è iniettiva e suriettiva, cioè se per ogni $y \in Y$ esiste un unico $x \in X$ con $f(x) = y$.

Sia $I \subseteq \mathbb R$ un intervallo, e sia $f \in C(I)$, allora anche $J := f(I) = \{f(x): x \in I\}$ è un intervallo, ed in oltre:

• $f: I \to J$ è invertibile $\Leftrightarrow$ $f$ è strettamente crescente/decrescente

• se $f$ è invertibile, $f^{-1}: J \to I$ è continua

• $f$ è iniettiva $\Leftrightarrow$ ogni retta orizzontale attraverso un punto $y \in Y$ interseca $C(f)$ al più una volta.

• $f$ è suriettiva $\Leftrightarrow$ ogni retta orizzontale attraverso un punto $y \in Y$ interseca $C(f)$ almeno una volta.

• $f$ è biettiva $\Leftrightarrow$ ogni retta orizzontale attraverso un punto $y \in Y$ interseca $C(f)$ un’unica volta.

🟢 Trovare il dominio

Data una funzione $f$, vogliamo studiarne il dominio. Vogliamo escludere tutti i valori non validi dalla funzione come per esempio:

• I denominatori non possono essere 0
• Le radici pari non possono avere un espressione negativa
• Le espressioni nei logaritmi devono essere maggiore di 0, ed in generale tutte le funzioni trigonometriche con dominio limitato

Per esempio, studiamo la funzione $f(x) = \frac{1}{log(2x - x^2)}$ Allora:

• $2x - x^2 \gt 0$
• $log(2x-x^2) \ne 0 \implies 2x-x^2 \ne 1$

Risolviamo i due:

$$x(2 - x) > 0 \implies 0 \lt x \lt 2$$

Per il secondo prendiamo i valori in cui è uguale a 1

$$\begin{aligned} 2x - x^2 &= 1 \\ &\implies 2x - x^2 - 1 = 0 \\ &\implies (x-1)^2 = 0 \\ &\implies \text{per} \ x = 1 \ \text{,} \ (x-1)^2 = 0 \end{aligned}$$

Allora i vincoli del nostro dominio sono: $0 \lt x \lt 2$ e $x \ne 1$ E quindi:

$$\Large D = (0,1) \cup (1,2)$$

🟢 Punti critici

Vogliamo studiare una funzione per trovare i punti estremi, cioè punti in cui il valore della funzione è al minimo/massimo locale. Si può anche vedere come il punto in cui viene cambiata "direzione" della funzione (da crescente a decrescente, etc...)

Per trovare i punti critici della funzione $f(x)$ ci basta:

• trovare i punti dove l'equazione della derivata prima $f'(x) = 0$ dove i punti x sono definiti su $f(x)$
• I punti in cui la funzione $f'(x)$ non esiste.
• Gli estremi del domino.

🟢 Trovare simmetrie

Data una funzione $f$:

• Per vedere se una funzione è simmetrica rispetto l'asse Y (funzione pari), allora deve essere vero che:

$$\Large{f(x) = f(-x)}$$

• Per vedere se una funzione è simmetrica rispetto l'origine (funzione dispari), allora deve essere vero che:

$$f(-x) = -f(x)$$

Esempi:

• Funzione pari: $f(x) = x^2$ allora $f(x) = f(-x)$, $x^2 = (- x)^2$, e dato che un numero elevato ad un numero pari è sempre positivo, l'eguaglianza regge, e la funzione è pari rispetto l'asse X.
• Funzione dispari: $f(x) = x^3$ allora $f(-x) = f(x)$, $-x^3 = - x^3$, allora è dispari rispetto l'origine

🟠 Trovare intersezioni con gli assi

Data una funzione $f$:

• Per vedere l'intersezione con l'asse X, risolvere l'equazione $f(x) = 0$
• Per vedere l'intersezione con l'asse Y, se $0 \in X$, calcolare $f(0)$

🟠 Segno della funzione

Data una funzione $f$, per scoprire il segno della funzione basta risolvere l'equazione $f(x) > 0$ oppure $f(x) < 0$. Oppure possiamo studiare i punti critici e poi vedere i valori della funzione dentro gli intervalli fra i punti critici.

🟠 Trovare asintoti verticali/orizzontali

Si calcolano i limiti (da destra e sinistra) di $f(x)$ nei punti estremi del dominio $X$. A questo punto:

• Se $\lim_{x \to c^{(\pm)}} f(x) = \pm \infty$, con $c \in \mathbb R$, allora si dice che $f$ ha un asintoto verticale $x = c$. I punti $c$ che dobbiamo analizzare sono i punti in cui la funzione non è definita (i punti estremi di $X$). Si calcola il limite, se il limite tende da una parte a $-\infty$ e l'altra a $+\infty$, allora c'è un asintoto verticale a $x = c$.
• Se $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = l \in \mathbb R$, allora si dice che $f$ ha un asintoto orizzontale $y = l$. Calcoliamo il limite a $+\infty$ e $-\infty$, se entrambi sono uguali (chiamiamolo $l$) allora $y = l$ è l'asintoto orizzontale.

🟠 Trovare asintoti obliqui

Se esistono $m \ne 0$ e $q \in \mathbb R$ tale che:

$$\lim_{x \to +\infty / -\infty} (f(x) - (m \cdot x + q)) = 0$$

($+\infty / - \infty$ vuol dire uno o l'altro, o entrambi).

Allora si dice che la retta $y = m \cdot x + q$ è asintoto obliquo per $f$ a $+\infty$ e/o $-\infty$. Graficamente vuol dire che la distanza tra il grafico di $f$ e la retta $y = m \cdot x + q$ tende a $0$ per $x \to \pm \infty$.

Per poterlo svolgere eseguiamo i passaggi:

1. Si verifica se esiste (ed è finito) il limite: $\Large{\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=: m}$ E verifichiamo che non sia uguale a 0. Questa sarà la Pendenza dell'asintoto
2. Se esiste $m \ne 0$, allora si verifica se esiste il limite (ed è finito): $\Large{\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx})=: q$ Che sarà l'ordinata all'origine dell'asintoto

Se entrambi esistono e sono finiti, allora $y = mx + q$ è un asintoto obliquo di $f$ per $x \to \pm \infty$

🟠 Punti angolosi

Un punto angoloso è un punto nella funzione che è continuo ma non derivabile, perchè i limiti destro e sinistro esistono ma sono diversi.

Per verificare se un punto è angoloso, basta verificare se:

$$\lim_{x \to ^-c} f'(x) \ne \lim_{x \to ^+c} f'(x)$$

Se sono diversi, allora vuol dire che il punto $c$ è un punto angoloso

🟠 Punti di flesso

Un punto $x_0 \in (a, b)$ si chiama punto di flesso in $f: (a,b) \to \mathbb R$ se $f$ è continua in $(a,b)$, derivabile in $(a,b) \setminus \{ x_0 \}$ e se:

• $f$ ammette retta tangente in $x_0$ (esiste derivata prima)
• la concavità è opposta a destra/sinistra di $x_0$

🟠 Studio derivata prima (crescenza/decrescenza, punti critici ed estremi locali)

Data una funzione $f$, calcoliamo la derivata prima $f'(x)$ e il corrispettivo dominio.

• Risolvendo l'equazione $f'(x) = 0$ troviamo l'equazione dei punti in cui la funzione cambia di segno.
  • Studiando il cambiamento di segno nell'intervallo precedente/successivo di questo punto, possiamo trovare se è un minimo/massimo locale
  • Infine possiamo studiare il segno di $f'(x)$ per ottenere informazioni sulla monotonia di $f$

🟠 Studio derivata seconda (concavità/convessità)

Per capire la concavità del punto (cioè se il punto fa parte di un minimo o massimo locale) allora dobbiamo studiare la derivata seconda nel punto di flesso.

• Se la derivata seconda è positiva, allora siamo in un minimo locale (concavità verso l'alto).
• Se è negativa, allora siamo in un massimo locale (concavità verso il basso).
• Se è 0, allora il test è inconcludente, il punto non è un estremo.

🟠 Studio monotonia

Con $f(x)$ una funzione definita su intervallo $I$ (aperto, chiuso o nessuno dei due), allora:

• $f$ è detto monotono crescente se per ogni coppia $x_1, x_2$ dell'intervallo dove $x_1 < x_2$, allora $f(x_1) < f(x_2)$
• $f$ è detto monotono decrescente se per ogni coppia $x_1, x_2$ dell'intervallo dell'intervallo dove $x_1 < x_2$, allora $f(x_1) > f(x_2)$
• $f$ è detto strettamente monotono se non è ne crescente ne decrescente

Per il teorema della monotonia, se $f$ è una funzione continua sull'intervallo $I$ e differenziabile ovunque in $I$, allora:

• Se $f'(x) > 0$ per ogni $x$ nell'intervallo, allora $f$ è crescente in quell'intervallo
• Se $f'(x) < 0$ per ogni x nell'intervallo, allora $f$ è decrescente in quell'intervallo

Esempio

Studiamo la funzione $f(x) = 3x^4-4 x^3+2$

La prima cosa che vogliamo trovare sono i punti critici, cioè tutti i punti in cui $f'(x)= 0$ oppure non è definita. Prima troviamo la sua derivata:

$$f'(x) = 12x^3 - 12x^2$$

Questa funzione è definita su tutti i punti, allora troviamo quando $f'(x)= 0$:

$$\begin{aligned} f'(x) &= 12x^3 - 12x^2 \\ & = 12x^2(x - 1) \\ \end{aligned}$$

Questa funzione è uguale a 0 quando $x = 0$ oppure $x = 1$.

Questi punti critici possono essere punti di flesso, punti minimi/massimi, ma per poterlo capire dobbiamo continuare a studiarli.

Prima di tutto proviamo la concavità su questi punti. Lo facciamo vedendo il segno della seconda derivata su questi punti.

$$f''(x) = 36x^2 - 24x$$

Allora valutiamoli sui due punti estremi, $x=0$ e $x=1$:

$$\begin{aligned} f''(0) &= 0 \\ f''(1) &= 12 \end{aligned}$$

• Nel punto $0$, la derivata seconda è 0, allora non ci troviamo ne in concavità verso l'alto ne basso. Questo potrebbe essere un punto di flesso, lo studieremo dopo
• Nel punto 1, la derivata seconda è positiva, allora ci troviamo in concavità verso l'alto, e quindi questo punto è un punto di minimo locale

Ora abbiamo visto che $f''(0) = 0$, il che è uno dei requisiti di un punto di flesso, vediamo se esistono altri punti in cui la derivata seconda è 0, cioè dove $36x^2 - 24x = 0$:

$$\begin{aligned} f''(x) &= 36x^2 - 24x \\ &= 12x(3x - 2) \end{aligned}$$

Questa funzione è uguale a 0 sui punti $x = 0$ e $x = \frac{2}{3}$

Ora, i punti di flesso sono tutti quei punti dove $f''(x) = 0$ e c'è un cambio di direzione della funzione a quel punto (da positivo a negativo, o viceversa). Allora controlliamo, per entrambi i punti, i valori maggiori e minori di esso.

Nel caso in cui $x = \frac{2}{3}$ vediamo il segno per $x > \frac{2}{3}$ e $x < \frac{2}{3}$

Nel primo caso, per qualsiasi valore $x > \frac{2}{3}$, $f''(x)$ è positiva. Nel secondo caso, per qualsiasi valore $0 <x < \frac{2}{3}$, $f''(x)$ è negativa

Allora effettivamente questo punto è un punto di flesso

Nel caso in cui $x = 0$ vediamo il segno per $x > 0$ e $x < 0$

Nel primo caso, per qualsiasi valore $\frac{2}{3} > x > 0$, $f''(x)$ è negativa. Nel secondo caso, per qualsiasi valore $x < 0$, $f''(x)$ è positiva.

Per riassumere:

• $x = 1$ la derivata prima è 0, ed è concava verso l'alto, $f(1) = 1$
• $x = 0$ la derivata prima è 0, ed è un punto di flesso, a sinistra verso l'alto, e a destra verso il basso, $f(2) = 2$
• $x = \frac{2}{3}$, non ha derivata prima a 0, ma è un punto di flesso, a sinistra verso il basso e a destra verso l'alto, $f(\frac{2}{3})$ è un numero reale, quindi non lo scrivo qui.

A questo punto possiamo disegnare la funzione: