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Esonero, moto circolare e pendolo semplice

Un problema d'esonero completo, il moto circolare con accelerazione tangenziale e centripeta e il pendolo semplice con T = 2π√(L/g).

In questa lezione

Un problema d'esonero completo: molla, forza frenante, collina e salita con attrito
La condizione perché un corpo resti fermo su un piano inclinato: $\mu_s \ge \tan\theta$
Il moto circolare: accelerazione tangenziale e centripeta
Il pendolo semplice: per piccole oscillazioni è un moto armonico, $T = 2\pi\sqrt{L/g}$

1. Problema d'esonero (23/04/26)

Una molla compressa di $x_0 = 0{,}08\ \text{m}$ (costante $k$ ) lancia un corpo $m = 1{,}2\ \text{kg}$ , che parte da $A$ con $v_A = 7\ \text{m/s}$ . Sul tratto $\overline{AB} = 1\ \text{m}$ agisce una forza frenante $F = 50\ \text{N}$ inclinata di $\alpha = 60°$ ; in $B$ (quota $h_B = 0{,}75\ \text{m}$ ) inizia una collina liscia che scende fino a $C$ ; da $C$ sale un piano inclinato $\theta = 25°$ con attrito $\mu = 0{,}6$ fino a fermarsi in $D$ (quota $h_D$ ). Trovare: (1) $k$ ; (2) $a_{AB}$ ; (3) $v_B$ ; (4) $v_C$ ; (5) $h_D$ .

(1) Costante elastica. L'energia elastica della molla diventa energia cinetica in $A$ :

\frac{1}{2}k\,x_0^2 = \frac{1}{2}m\,v_A^2 \;\Longrightarrow\; k = \frac{m\,v_A^2}{x_0^2} = \frac{1{,}2\cdot 49}{0{,}08^2} \approx 9{,}2\ \text{kN/m}

(2) Accelerazione in AB. La forza frenante ha componente orizzontale $F\cos\alpha$ opposta al moto:

-F\cos\alpha = m\,a_{AB} \;\Longrightarrow\; a_{AB} = -\frac{F\cos\alpha}{m} = -\frac{50\cdot 0{,}5}{1{,}2} \approx -21\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}

(3) Velocità in B. Con il teorema dell'energia cinetica su $AB$ (lavoro frenante $-F\cos\alpha\cdot\overline{AB}$ ):

v_B = \sqrt{v_A^2 - \frac{2F\cos\alpha\,\overline{AB}}{m}} = \sqrt{49 - 41{,}7} \approx 2{,}7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}

(4) Velocità in C. La collina è liscia: dalla quota $h_B$ a $C$ lavora solo il peso (vedi Lavoro della forza peso, piano i…):

v_C = \sqrt{v_B^2 + 2g\,h_B} = \sqrt{7{,}3 + 2\cdot 10\cdot 0{,}75} \approx 4{,}7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}

(5) Altezza raggiunta D. Salendo il piano inclinato con attrito, il corpo si ferma in $D$ . Tra $C$ e $D$ l'energia meccanica diminuisce per il lavoro (negativo) dell'attrito $F_{ad} = \mu mg\cos\theta$ lungo il tratto $\overline{CD} = h_D/\sin\theta$ :

mg\,h_D - \frac{1}{2}m\,v_C^2 = -\frac{h_D}{\sin\theta}\,\mu mg\cos\theta = -h_D\,\mu mg\,\frac{1}{\tan\theta}

Raccogliendo $h_D$ :

g\,h_D\left(1 + \frac{\mu}{\tan\theta}\right) = \frac{1}{2}v_C^2 \;\Longrightarrow\; h_D = \frac{v_C^2}{2g\left(1 + \dfrac{\mu}{\tan\theta}\right)} = \frac{22{,}3}{20\,(1 + 1{,}29)} \approx 0{,}49\ \text{m}

Il filo conduttore di tutti questi problemi

Ogni tratto si affronta con un'unica domanda: quali forze fanno lavoro? La molla (energia elastica → cinetica), la forza frenante e l'attrito (lavoro negativo), il peso (solo se c'è dislivello). Poi si applica $W = \Delta K$ o la conservazione dell'energia. È lo stesso metodo concatenato di Lavoro della forza peso, piano i… e Esercizi d'esame e sistemi di co….

Quando un corpo resta fermo su un piano inclinato

Un corpo non scivola finché l'attrito statico massimo regge la componente del peso lungo il piano: $F_{as,max} \ge P_\parallel$ , cioè $\mu_s\,mg\cos\theta \ge mg\sin\theta$ . Semplificando: $\mu_s \ge \tan\theta$ La condizione non dipende dalla massa: conta solo l'inclinazione e il coefficiente d'attrito.

2. Il moto circolare

Finora le traiettorie erano rette o parabole. Studiamo ora il moto lungo una circonferenza di raggio $R$ . Qui l'accelerazione ha due ruoli distinti: cambiare il modulo della velocità e cambiarne la direzione.

2.1 Le due componenti dell'accelerazione

La velocità è sempre tangente alla traiettoria, $\vec v = \dfrac{ds}{dt}\,\hat u_T$ (con $\hat u_T$ versore tangente). Derivando per ottenere l'accelerazione, due cose cambiano nel tempo: il modulo della velocità e la direzione del versore $\hat u_T$ . Si ottiene

\boxed{\;\vec a = \underbrace{\frac{d^2 s}{dt^2}}_{a_T}\,\hat u_T + \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{a_c}\,\hat u_n\;}

Accelerazione tangenziale $a_T = \dfrac{d^2 s}{dt^2}$ : diretta lungo la traiettoria, fa variare il modulo della velocità (accelera o frena).
Accelerazione centripeta $a_c = \dfrac{v^2}{R}$ : diretta verso il centro della circonferenza ( $\hat u_n$ ), fa variare la direzione della velocità.

Anche a velocità costante si accelera

Nel moto circolare uniforme il modulo della velocità è costante, quindi $a_T = 0$ , ma resta l'accelerazione centripeta $v^2/R$ : la direzione cambia di continuo. Curvare richiede sempre una forza diretta verso il centro (è ciò che premi quando un'auto curva). Questo spiega l'osservazione lasciata in sospeso in Terzo principio della dinamica e…: la Luna "cade" verso la Terra proprio perché la gravità le fornisce l'accelerazione centripeta che la tiene in orbita.

3. Il pendolo semplice

Un pendolo semplice è una massa $m$ appesa a un filo ininestensibile di lunghezza $L$ , che oscilla sotto l'azione del peso. È un moto circolare (su un arco) e, per piccole oscillazioni, un moto armonico.

3.1 L'equazione del moto

Scomponiamo il peso lungo il filo (radiale) e perpendicolare ad esso (tangenziale):

|F_P^\perp| = mg\cos\theta \qquad |F_P^\parallel| = mg\sin\theta

Lungo la tangente (direzione del moto), l'unica forza è la componente $-mg\sin\theta$ (di richiamo verso il basso). Con $a_T = L\,\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$ (l'arco è $s = L\theta$ ):

-mg\sin\theta = m\,L\,\frac{d^2\theta}{dt^2} \;\Longrightarrow\; \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0

(Lungo la direzione radiale si avrebbe $|T| - mg\cos\theta = m\dfrac{v^2}{L}$ , che dà la tensione del filo, ma non serve per il moto oscillatorio.)

3.2 Piccole oscillazioni: di nuovo il moto armonico

L'equazione $\ddot\theta + \dfrac{g}{L}\sin\theta = 0$ non è armonica a causa del $\sin\theta$ . Ma per piccole oscillazioni (in pratica $\theta \lesssim 5°$ ) vale l'approssimazione $\sin\theta \approx \theta$ (con $\theta$ in radianti), e l'equazione diventa

\boxed{\;\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\,\theta = 0\;}

Questa è esattamente l'equazione del moto armonico di Il moto armonico semplice, con

\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

e soluzione $\theta(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$ .

Il pendolo come orologio

Il periodo $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ dipende solo dalla lunghezza del filo e da $g$ : non dalla massa appesa né (per piccole oscillazioni) dall'ampiezza. È la proprietà che ha reso il pendolo il regolatore degli orologi per secoli, e che permette di misurare $g$ cronometrando le oscillazioni di un filo di lunghezza nota.

Riepilogo

I problemi concatenati (molla, forze frenanti, dislivelli, attrito) si risolvono tratto per tratto con $W = \Delta K$ e la conservazione dell'energia: in ogni tratto, individuare quali forze fanno lavoro.
Equilibrio su piano inclinato: un corpo resta fermo se $\mu_s \ge \tan\theta$ (indipendente dalla massa).
Moto circolare: $\vec a = a_T\,\hat u_T + \dfrac{v^2}{R}\,\hat u_n$ . La componente tangenziale cambia il modulo della velocità, la centripeta ( $v^2/R$ , verso il centro) ne cambia la direzione. Nel moto uniforme resta solo la centripeta.
Pendolo semplice: $\ddot\theta + \dfrac{g}{L}\sin\theta = 0$ ; per piccole oscillazioni diventa armonico con $\omega = \sqrt{g/L}$ e $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ , indipendente da massa e ampiezza.

Per fissare le idee

Un'auto percorre una curva a velocità costante: sta accelerando? In quale direzione?
Perché il periodo di un pendolo non dipende dalla massa appesa?
Due pendoli hanno lunghezze nel rapporto $4:1$ . Qual è il rapporto dei loro periodi?