Formulario di Fisica

Costanti e conversioni

Simbolo	Valore	Significato
$g$	$9{,}81 \approx 10\ \text{m/s}^2$	accelerazione di gravità terrestre
$G$	$6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$	costante di gravitazione universale
$R$	$8{,}314\ \text{J/(mol·K)}$	costante dei gas perfetti
$N_A$	$6{,}022\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$	numero di Avogadro (particelle in 1 mole)
$k_B$	$1{,}38\times 10^{-23}\ \text{J/K}$	costante di Boltzmann ($k_B = R/N_A$)
$m_u$	$1{,}66\times 10^{-27}\ \text{kg}$	unità di massa atomica
$V_m$	$22{,}41\ \text{L} = 0{,}02241\ \text{m}^3$	volume di 1 mole di gas a condizioni standard
—	$1\ \text{cal} = 4{,}184\ \text{J}$	$1\ \text{kcal} = 4184\ \text{J}$ (Caloria alimentare)
—	$1\ \text{N} = 1\ \text{kg·m/s}^2$	newton (unità di forza)
—	$1\ \text{J} = 1\ \text{N·m}$	joule (unità di lavoro/energia)
—	$1\ \text{W} = 1\ \text{J/s}$	watt (unità di potenza)
—	$1\ \text{Pa} = 1\ \text{N/m}^2$	pascal (unità di pressione)

Conversioni utili:

• km/h → m/s: dividere per $3{,}6$. m/s → km/h: moltiplicare per $3{,}6$.
• °C → K: $T[\text{K}] = T[°\text{C}] + 273{,}15$. Per le differenze $\Delta T[°\text{C}] = \Delta T[\text{K}]$.
• Controllo dimensionale: verifica sempre che i due membri abbiano le stesse dimensioni.

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MECCANICA

Cinematica — definizioni di base Introduzione al corso e cinemati… Legge oraria, moto uniforme, acc…

• Velocità media — spostamento diviso tempo impiegato (pendenza della secante di $x(t)$):

$$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$$

• Velocità istantanea — derivata della posizione (pendenza della tangente):

$$v = \frac{dx}{dt}$$

• Accelerazione media — variazione di velocità diviso tempo:

$$a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t}$$

• Accelerazione istantanea — derivata della velocità (derivata seconda della posizione):

$$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$$

Moto uniforme ($v$ costante) Legge oraria, moto uniforme, acc…

• Legge oraria — la posizione cresce linearmente nel tempo:

$$x(t) = x_0 + v\,t$$

Moto uniformemente accelerato ($a$ costante) Formule del moto uniformemente a…

• Velocità — cresce linearmente nel tempo:

$$v(t) = v_0 + a\,t$$

• Posizione — andamento parabolico nel tempo:

$$x(t) = x_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2$$

• Relazione senza il tempo — da usare quando si conosce lo spazio ma non il tempo:

$$v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2\,\Delta x}$$

• Velocità media nel MUA — media aritmetica (vale solo se $a$ è costante):

$$v_m = \frac{v_1 + v_2}{2}$$

Caduta libera Terzo principio della dinamica e…

• Tempo di caduta da fermo, da altezza $d$:

$$t_d = \sqrt{\frac{2d}{g}}$$

• Velocità di caduta da fermo, dopo un dislivello $h$:

$$v = \sqrt{2gh}$$

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Dinamica — i tre principi Formule del moto uniformemente a… Terzo principio della dinamica e…

• 2° principio (Newton) — la forza è causa, l'accelerazione effetto, la massa la costante:

$$\vec F = m\,\vec a$$

• 3° principio (azione e reazione) — forze uguali e opposte su corpi diversi:

$$\vec F_{BA} = -\vec F_{AB}$$

• Più forze sul corpo: si sommano vettorialmente, $\sum_i \vec F_i = m\vec a$ (di solito scomposte asse per asse).

Gravitazione Terzo principio della dinamica e… Forza peso, reazione vincolare e…

• Gravitazione universale — attrazione tra due masse a distanza $r$:

$$F = G\,\frac{m_A\,m_B}{r^2}$$

• Accelerazione di gravità — $g$ ricavato dalla massa e raggio del pianeta (non dipende dal corpo che cade):

$$g = G\,\frac{M_{terra}}{r^2}$$

• Forza peso — sempre verso il basso:

$$P = m\,g$$

Reazione vincolare e attrito Forza peso, reazione vincolare e… Problemi con l'attrito e introdu…

• Reazione normale $N$ — perpendicolare al vincolo; su piano orizzontale fermo

$$N = mg$$

• Reazione normale con spinta inclinata — una forza $F$ inclinata di $\alpha$ verso l'alto "scarica" il vincolo e riduce l'attrito disponibile:

$$N = mg - F\sin\alpha$$

• Peso apparente in ascensore — $a$ con segno (positiva verso l'alto):

$$N = m(g + a)$$

• Attrito statico massimo — soglia oltre cui il corpo parte (l'attrito statico si adatta fino a questo valore):

$$F_{as,\,max} = \mu_s\,N$$

• Attrito dinamico — costante mentre il corpo scivola, opposto al moto ($\mu_d < \mu_s$):

$$F_{ad} = \mu_d\,N$$

• Condizione di messa in moto — il corpo parte quando la componente motrice supera l'attrito statico massimo (con spinta orizzontale $F > \mu_s N$):

$$F\cos\alpha > \mu_s\,N$$

• I coefficienti $\mu_s, \mu_d$ sono adimensionali e dipendono dai materiali a contatto.

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Vettori Problemi con l'attrito e introdu…

• Modulo (da componenti cartesiane, teorema di Pitagora):

$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$$

• Da polari a cartesiane — componenti dal modulo e angolo:

$$A_x = A\cos\theta, \qquad A_y = A\sin\theta$$

• Angolo (da cartesiane a polari):

$$\theta = \tan^{-1}\!\left(\frac{A_y}{A_x}\right)$$

• Somma per componenti — si sommano asse per asse:

$$\vec C = \vec A + \vec B \equiv (A_x + B_x,\; A_y + B_y)$$

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Lavoro ed energia Forze inclinate, lavoro ed energ… Lavoro della forza peso, piano i… Potenza, energia spesa e forza e… Ripasso generale ed energia pote…

• Lavoro di una forza — prodotto scalare forza·spostamento ($\alpha$ = angolo tra loro):

$$W = \vec F\cdot \vec s = F\,s\,\cos\alpha$$

• $W > 0$ forza motrice ($\alpha < 90°$); $W = 0$ se perpendicolare al moto; $W < 0$ forza frenante ($\alpha > 90°$).
• Energia cinetica — energia di movimento:

$$K = \tfrac{1}{2}m\,v^2$$

• Teorema dell'energia cinetica — il lavoro totale eguaglia la variazione di energia cinetica:

$$W_{AB} = K_B - K_A = \tfrac{1}{2}m\,v_B^2 - \tfrac{1}{2}m\,v_A^2$$

• Lavoro della forza peso — dipende solo dal dislivello $\Delta z = z_B - z_A$ (forza conservativa):

$$W_P = -mg\,\Delta z$$

• Lavoro dell'attrito — sempre negativo (forza frenante) e dipendente dal percorso (non conservativa); su un tratto di lunghezza $s$:

$$W_{att} = -F_{ad}\,s = -\mu_d\,N\,s \qquad (\text{orizzontale: } -\mu_d\,mg\,d)$$

• Potenza — lavoro nell'unità di tempo (prodotto scalare forza·velocità):

$$P = \frac{dW}{dt} = \vec F\cdot \vec v$$

• Energia spesa (problemi metabolici) — potenza per tempo, più il lavoro contro la gravità se si sale:

$$W = P\,t \;(+\,mgh)$$

Forza elastica (molla) Potenza, energia spesa e forza e…

• Legge di Hooke — forza di richiamo proporzionale e opposta alla deformazione $x = l - l_0$:

$$F_e = -k\,x$$

• Lavoro della forza elastica — dipende solo dagli stati (conservativa):

$$W_{AB} = \tfrac{1}{2}k\,x_A^2 - \tfrac{1}{2}k\,x_B^2$$

• Compressione/estensione massima — uguagliando energia cinetica ed elastica ($\tfrac12 mv^2 = \tfrac12 kx^2$):

$$x_{max} = \sqrt{\frac{m\,v^2}{k}}$$

Energia potenziale e conservazione Ripasso generale ed energia pote…

• Lavoro forza conservativa — pari alla diminuzione di energia potenziale:

$$W = -\Delta U = U_{iniziale} - U_{finale}$$

• Energia potenziale gravitazionale ($h$ = quota rispetto a un riferimento):

$$U_{grav} = mgh$$

• Energia potenziale elastica — energia immagazzinata in una molla deformata:

$$U_{el} = \tfrac{1}{2}k\,x^2$$

• Conservazione dell'energia meccanica — se agiscono solo forze conservative:

$$K + U = \text{costante} \qquad (\Delta K = -\Delta U)$$

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Piano inclinato Lavoro della forza peso, piano i… Esonero, moto circolare e pendol…

• Reazione normale (piano inclinato di angolo $\alpha$) — sostiene solo la componente perpendicolare:

$$N = mg\cos\alpha$$

• Accelerazione (piano liscio) — non dipende dalla massa:

$$a = g\sin\alpha$$

• Velocità con attrito su tratto orizzontale $d$ (da $v_B$):

$$v_C = \sqrt{v_B^2 - 2\mu_d\,g\,d}$$

• Condizione di equilibrio (il corpo resta fermo) — indipendente dalla massa:

$$\mu_s \ge \tan\theta$$

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Moto parabolico Il moto parabolico

Combinazione di moto uniforme lungo $x$ ($a_x = 0$) e uniformemente accelerato lungo $y$ ($a_y = -g$). I due moti sono indipendenti.

• Velocità — orizzontale costante, verticale come caduta libera:

$$v_x(t) = v_{0x} \qquad v_y(t) = v_{0y} - g\,t$$

• Posizione:

$$x(t) = x_0 + v_{0x}\,t \qquad y(t) = y_0 + v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^2$$

• Tempo di volo (lancio orizzontale da altezza $y_0$):

$$t_v = \sqrt{\frac{2y_0}{g}}$$

• Gittata — distanza orizzontale percorsa:

$$d = v_{0x}\,t_v$$

• Velocità di impatto (modulo) — composizione vettoriale delle due componenti:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$

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Moto armonico semplice Il moto armonico semplice

• Equazione del moto — accelerazione proporzionale e opposta alla posizione, con $\omega^2 = k/m$:

$$\ddot x + \omega^2 x = 0$$

• Soluzione — $A$ ampiezza, $\omega$ pulsazione, $\varphi$ fase iniziale (da condizioni iniziali):

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$$

• Velocità durante l'oscillazione:

$$v(t) = -A\,\omega\sin(\omega t + \varphi)$$

• Pulsazione (massa-molla):

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

• Periodo e frequenza — il periodo non dipende dall'ampiezza:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \qquad \nu = \frac{1}{T}$$

• Energia meccanica totale — costante durante l'oscillazione:

$$E_m = K + U_{el} = \tfrac{1}{2}k\,A^2$$

• Velocità in funzione della posizione — massima all'equilibrio ($v_{max} = \omega A$), nulla agli estremi:

$$v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}$$

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Moto circolare e pendolo Esonero, moto circolare e pendol…

• Accelerazione nel moto circolare — componente tangenziale (cambia il modulo di $v$) + centripeta (cambia la direzione):

$$\vec a = \underbrace{\frac{d^2 s}{dt^2}}_{a_T}\,\hat u_T + \underbrace{\frac{v^2}{R}}_{a_c}\,\hat u_n$$

• Accelerazione centripeta — verso il centro, presente anche nel moto uniforme:

$$a_c = \frac{v^2}{R}$$

• Pendolo semplice (piccole oscillazioni) — moto armonico con:

$$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}} \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

Il periodo dipende solo dalla lunghezza $L$ e da $g$ (non da massa né ampiezza).

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Sistemi di corpi collegati (funi e carrucole) Esercizi d'esame e sistemi di co…

• Tensione $T$ — uguale in ogni punto di una fune ideale; tutti i corpi collegati hanno la stessa accelerazione in modulo.
• Metodo: si scrive $\vec F = m\vec a$ per ogni corpo, scegliendo come positivo il verso del moto, poi si mettono a sistema.
• Scorciatoia (sommare le equazioni) — le tensioni interne si elidono; restano solo le forze esterne. Esempio (A su piano inclinato, B in piano, C appeso):

$$a = \frac{(M_C - M_A\sin\alpha)\,g}{M_A + M_B + M_C}$$

• Nota le tensioni dalla singola equazione: es. $T_1 = M_A(g\sin\alpha + a)$, $T_2 = M_C(g - a)$.

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TERMODINAMICA

Temperatura, pressione, densità Introduzione alla termodinamica,…

• Densità — massa per unità di volume:

$$\rho = \frac{m}{V}$$

• Pressione — forza perpendicolare per unità di area:

$$P = \frac{F}{S}$$

• Legge di Stevino — la pressione in un fluido cresce con la profondità $h$:

$$P = P_0 + \rho\,g\,h$$

• Scale di temperatura:

$$T[°\text{C}] = T[\text{K}] - 273{,}15 \qquad T[°\text{F}] = \tfrac{9}{5}\,T[°\text{C}] + 32$$

Calore e calorimetria Introduzione alla termodinamica,…

• Calore per variazione di temperatura — $c_s$ calore specifico, $C = m c_s$ capacità termica:

$$Q = m\,c_s\,\Delta T = C\,\Delta T$$

• Temperatura di equilibrio (due corpi a contatto, isolati) — media pesata sulle capacità termiche:

$$T_e = \frac{m_A c_s^A\,T_C + m_B c_s^B\,T_F}{m_A c_s^A + m_B c_s^B}$$

• Bilancio calorimetrico — calore ceduto dal caldo = calore assorbito dal freddo: $Q_{ced} = -Q_{ass}$.
• Calori specifici utili: acqua $4186$, ghiaccio $2090\ \text{J/(kg·K)}$.

Cambiamenti di fase e dilatazione Cambiamenti di fase, dilatazione…

• Calore latente — calore per il passaggio di stato, a temperatura costante ($\lambda$ in J/kg, fusione/vaporizzazione):

$$Q = m\,\lambda$$

(calore latente di fusione dell'acqua $\lambda \approx 3{,}3\times 10^5\ \text{J/kg}$)

• Conduzione (legge di Fourier) — flusso di calore proporzionale al gradiente di temperatura:

$$dQ = -k\,\frac{dT}{dx}\,S\,dt$$

• Dilatazione lineare — $\lambda$ coefficiente di dilatazione lineare:

$$l = l_0(1 + \lambda\,\Delta T)$$

• Dilatazione cubica (volume) — con $\alpha = 3\lambda$:

$$V = V_0(1 + \alpha\,\Delta T)$$

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Gas perfetti Equazione di stato dei gas perfe…

• Numero di moli — da massa totale e massa molare, o dal numero di molecole:

$$n = \frac{M_{tot}}{M_{molare}} = \frac{N_{molecole}}{N_A}$$

• Equazione di stato dei gas perfetti — la $T$ va sempre in kelvin:

$$P\,V = n\,R\,T$$

• Forma microscopica (Boltzmann) — collega macro e microscopico:

$$P\,V = N\,k_B\,T$$

• Lavoro di un gas — area sotto la curva nel piano $P$–$V$ (dipende dal percorso):

$$L = \int_A^B P\,dV$$

• Lavoro irreversibile (espansione contro pressione esterna costante):

$$L^{irr} = P_{est}\,(V_B - V_A)$$

Leggi dei gas (casi particolari) Cambiamenti di fase, dilatazione…

• Boyle (isoterma, $T$ cost.) — $P$ e $V$ inversamente proporzionali:

$$P\,V = \text{cost} \qquad P_1 V_1 = P_2 V_2$$

• Gay-Lussac isobara ($P$ cost.) — $V \propto T$ (in kelvin).
• Gay-Lussac isocora ($V$ cost.) — $P \propto T$ (in kelvin).

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Primo principio della termodinamica Il primo principio della termodi…

• Primo principio — $U$ energia interna (variabile di stato); $Q > 0$ assorbito, $L > 0$ compiuto dal sistema:

$$\Delta U = Q - L$$

• Energia interna di un gas perfetto — dipende solo da $T$; si calcola sempre con $C_V$ (qualunque trasformazione):

$$\Delta U = n\,C_V\,\Delta T$$

• Calori molari — a volume costante e a pressione costante:

$$dQ = n\,C_V\,dT \;(V\text{ cost.}) \qquad dQ = n\,C_P\,dT \;(P\text{ cost.})$$

• Relazione di Mayer:

$$C_P = C_V + R$$

• Indice adiabatico:

$$\gamma = \frac{C_P}{C_V} > 1$$

Gas	$C_V$	$C_P$	$\gamma$
monoatomico	$\tfrac{3}{2}R$	$\tfrac{5}{2}R$	$\tfrac{5}{3}\approx 1{,}67$
biatomico	$\tfrac{5}{2}R$	$\tfrac{7}{2}R$	$\tfrac{7}{5}=1{,}4$

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Le trasformazioni termodinamiche Trasformazioni termodinamiche, c… Trasformazione politropica, macc…

Trasformazione	Costante	Lavoro $L$	Calore $Q$	$\Delta U$
Isocora	$V$	$0$	$nC_V\Delta T$	$nC_V\Delta T$
Isobara	$P$	$P\Delta V = nR\Delta T$	$nC_P\Delta T$	$nC_V\Delta T$
Isoterma	$T$	$nRT\ln\frac{V_B}{V_A}$	$= L$	$0$
Adiabatica	$Q=0$	$nC_V(T_A - T_B)$	$0$	$nC_V\Delta T$

• Adiabatica ($Q = 0$) — leggi della trasformazione (espandendo, il gas si raffredda):

$$T\,V^{\gamma-1} = \text{cost} \qquad P\,V^{\gamma} = \text{cost}$$

• Lavoro adiabatica (forma alternativa):

$$L_{AB} = \frac{P_A V_A - P_B V_B}{\gamma - 1}$$

• Isoterma ($\Delta U = 0$, quindi $Q = L$):

$$Q = L = nRT\ln\frac{V_B}{V_A}$$

• Politropica — forma generale che unifica tutte le trasformazioni:

$$P\,V^k = \text{cost} \qquad C_k = C_V + \frac{R}{1-k}$$

($k=0$ isobara, $k=1$ isoterma, $k=\infty$ isocora, $k=\gamma$ adiabatica)

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Cicli e macchine termiche Trasformazioni termodinamiche, c… Trasformazione politropica, macc… Cicli termodinamici e il secondo…

• Ciclo — $\Delta U = 0$, quindi il lavoro netto eguaglia il calore netto:

$$\Delta U = 0 \;\Longrightarrow\; W = Q_{tot} = Q_{ass} + Q_{ced}$$

• Lavoro netto del ciclo = area racchiusa nel piano $P$–$V$ (orario = motore, $W>0$; antiorario = frigorifero, $W<0$).
• Rendimento di una macchina termica — sempre $< 1$:

$$\eta = \frac{W}{Q_{ass}} = 1 - \frac{|Q_{ced}|}{Q_{ass}}$$

• Rendimento di Carnot — massimo possibile tra due temperature (in kelvin), dipende solo da esse:

$$\eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_1}{T_2}$$

• Coefficiente di prestazione (frigorifero) — può essere $> 1$:

$$\xi = \frac{Q_{ass}}{|W|} \qquad \xi_{Carnot} = \frac{T_1}{T_2 - T_1}$$

• Rendimento reale con attrito ($W_{att}$ lavoro dissipato):

$$\eta_{reale} = \frac{W - W_{att}}{Q_{ass}}$$

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Secondo principio ed entropia Cicli termodinamici e il secondo… Teorema di Carnot, disuguaglianz…

• Enunciato di Kelvin-Planck — non esiste una macchina termica monoterma (non si converte tutto il calore in lavoro).
• Enunciato di Clausius — il calore non passa spontaneamente dal freddo al caldo senza spesa di lavoro.
• Teorema di Carnot — nessuna macchina supera il rendimento di Carnot:

$$\eta \le \eta_{Carnot} = 1 - \frac{T_1}{T_2}$$

• Disuguaglianza di Clausius — su un ciclo ($=0$ reversibile, $<0$ irreversibile):

$$\oint \frac{\delta Q}{T} \le 0$$

• Entropia — funzione di stato (J/K), calcolata su un percorso reversibile qualunque:

$$dS = \frac{\delta Q_{rev}}{T} \qquad \Delta S_{AB} = \int_A^B \frac{\delta Q_{rev}}{T}$$

• Secondo principio (forma entropica) — l'entropia dell'universo non diminuisce mai:

$$\Delta S_{universo} = \Delta S_{sistema} + \Delta S_{ambiente} \ge 0$$

• Variazione di entropia di un gas perfetto — forma base e forme equivalenti:

$$\Delta S = nC_V\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\ln\frac{V_B}{V_A}$$ $$\Delta S = nC_V\ln\frac{P_B}{P_A} + nC_P\ln\frac{V_B}{V_A} = nC_P\ln\frac{T_B}{T_A} - nR\ln\frac{P_B}{P_A}$$

• Scambio di calore tra due corpi ($T_1 < T_2$, calore $Q$) — sempre $> 0$:

$$\Delta S_{universo} = \frac{Q}{T_1} - \frac{Q}{T_2} > 0$$

• Calore nel piano $T$–$S$ — il calore è l'area sotto la curva: $\delta Q = T\,dS$.

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Mappa finale della termodinamica Esercizi d'esame di termodinamic…

Concetto	Relazione chiave
Equazione di stato	$PV = nRT$
Primo principio	$\Delta U = Q - L$, con $\Delta U = nC_V\Delta T$
Mayer / adiabatico	$C_P = C_V + R$, $\gamma = C_P/C_V$
Lavoro del gas	$L = \int P\,dV$ (area in $P$–$V$)
Adiabatica	$PV^\gamma = \text{cost}$
Rendimento	$\eta = 1 - \frac{ \mid Q_{ced} \mid }{Q_{ass}} \le 1 - \frac{T_1}{T_2}$
Secondo principio	$\Delta S_{universo} \ge 0$
Entropia (gas)	$\Delta S = nC_V\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\ln\frac{V_B}{V_A}$