Serie, Successioni e limiti

Tipi di successioni

Data una successione $a_n$, allora si dice che la successione è:

• Convergente se per il limite con $n \to \infty$, la successione tende a $l$
• Infinitesima uguale alla convergente, ma con $l = 0$
• Divergente se per $n \to \infty$, la successione tende a $\pm \infty$
• Limitate se esiste $M > 0$ tale che $|a_n| < M$ per ogni $n$, per esempio la funzione seno è limitata in $[-1, 1]$
• Monotona crescente se $a_{n + 1} \ge a_n$, o monotona decrescente se $a_{n + 1} \le a_n$
• Oscillante se non hanno un verso (per esempio verso l'infinito positivo o negativo) e possono essere limitate, se sono racchiuse in un intervallo, o non limitate se non sono racchiuse in un intervallo

🟢 Successione monotona

Una successione $(a_n)$ è detta:

• monotona crescente se $a_{n+1} \ge a_n$ per ogni $n$
• monotona decrescente se $a_{n+1} \le a_n$ per ogni $n$
• Strettamente crescente/decrescente se le disegualianze sono strette, $>, <$

🟢 Successione geometrica

🟢 Successione armonica

In generale:

🟢 Principio di sostituzione

Se per due successioni $a_n$ e $b_n$ si ha che $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n} = 1$ allora si dice che $a_n$ e $b_n$ sono asintotiche e si scrive $a_n \sim b_n$ per $n \to \infty$.

Se $a_n \sim b_n$ per $n \to \infty$, allora $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ hanno lo stesso comportamento asintotico, cioè che:

Allora definiamo il principio di sostituzione, in ==prodotti e rapporti== si possono sostituire successioni con altre successioni asintotiche, senza cambiare il comportamento asintotico, e sopratutto, non cambierà il valore del limite, se esiste.

🟢 Teorema sul limite delle successioni monotone

Il teorema ci dice che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite. Questo limite può essere:

• Finito: se la successione è anche limitata. A questo punto:
  • Se è monotona crescente e limitata superiormente, il suo limite è l'estremo superiore della successione
  • Se è monotona decrescente e limitata inferiormente, il suo limite è l'estremo inferiore della successione
• Infinito: se la successione è illimitata. A questo punto:
  • Se la successione è monotona crescente e illimitata superiormente, il suo limite è $+\infty$
  • Se la successione è monotona decrescente e illimitata inferiormente, il suo limite è $-\infty$

🟢 Serie di mengoli

🟢 Somma telescopica

Quando ci troviamo con serie i cui termini sono somme parziali della forma:

$$s_n = \sum_{k=1}^{n}(A_{k+1}-A_k) = (\cancel{A_2} - A_1) + (\cancel{A_3} + \cancel A_2) + \dots + (\cancel A_n + \cancel A_{n-1}) + (A_{n+1} + \cancel A_n)$$

Allora semplificando i termini intermedi, il calcolo della serie si riduce al trovare il limite di:

$$\lim_{n \to \infty} A_{n+1} - A_1 = \ ?$$

🟢 Condizione di convergenza

Una condizione necessaria (ma non sufficiente) per la convergenza di una serie è che: Se

$$\sum_{k = 0}^{\infty}{a_k}$$

converge, allora

$$\lim_{k \to \infty}{a_k} = 0$$

Mentre quando studiamo:

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n}a_k = s_n$$

• Se $\lim_{n \to +\infty}s_n = s$, si dice che la serie numerica converge alla somma $s$, e allora $\sum_{k = 0}^{\infty}{a_k} = s$
• Se $\lim_{n \to \pm\infty}s_n = \pm \infty$, si dice che la serie numerica diverge a $\pm \infty$ e allora $\sum_{k = 0}^{\infty}{a_k} = \pm \infty$
• Si dice irregolare o oscillante se $(s_n)_{n \in \mathbb N}$ è irregolare

🟢 Convergenza di una successione

🟢Continuità di una funzione

Una funzione $f(x)$ è detta continua sull'intervallo $[a,b]$ sul punto $x_0$ se:

• Esiste il limite $l$ per $x \to x_0$ di $f(x)$, cioè il limite destro e sinistro sono finiti e uguali.
• Questo limite $l$ è uguale al valore della funzione su $x_0$, cioè che $l = f(x_0)$

🟢 Serie a termini positivi

Diciamo che una successione è limitata, se $\forall n \in \mathbb{N}$, $\exists M > 0$ tale che $|S_n| \le M$. Quindi che tutte le successioni sono limitate superiormente da un certo $M$

Se $a_k \ge 0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$, allora la serie:

🟢 Convergenza assoluta

Notiamo che:

🟢 Criterio del confronto

🟢 Criterio della radice

Sia $a_k \ge 0$ definitivamente, se esiste:

$$\Large{q :=\lim_{k \to \infty}{\sqrt[k]{a_k}}}$$

Allora la serie $\sum_{k=0}^\infty a_k$:

• Converge se $q < 1$
• Diverge se $q > 1$
• Non possiamo concludere altro se $q = 1$

Molto utile quando stiamo studiando il limite di serie elevate alla $n$, per esempio

$$\frac{n^n}{(2n+1)^n}$$

A questo punto ci basta mettere tutto sotto radice $n$-esima e semplificare le potenze. Infine calcolando il limite otteniamo $\frac{1}{2}$, quindi converge.

🟢 Criterio del rapporto

Sia $a_k > 0$ definitivamente, se esiste:

$$\Large{q :=\lim_{k \to \infty}{\frac{a_{k+1}}{a_k}}}$$

Allora la serie $\sum_{k=0}^\infty a_k$:

• Converge se $q < 1$
• Diverge se $q > 1$
• Non si può concludere nulla se $q = 1$

Utile quando troviamo un esponenziale o c'è una potenza con indice all'esponente ($\alpha^n$) con $\alpha$ un numero reale. Per esempio:

$$a_n = \frac{n^2 + 1}{3^n}$$

Che è a termini positivi, allora calcoliamo $a_{n + 1}$ sostituendo ad $n$:

$$a_{n + 1} = \frac{(n + 1)^2 + 1}{3^{(n + 1)}} = \frac{n^2 + 2n + 2}{3 \cdot 3^n}$$

A questo punto applichiamo il criterio del rapporto:

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}{\left(\frac{a_{n+1}}{a_n} \right)} &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{n^2 + 2n + 2}{3 \cdot 3^n}}{\frac{n^2 + 1}{3^n}}\right) \\ \\ &= \lim_{n \to \infty} \left [(\frac{n^2 + 2n + 2}{3 \cdot 3^n})\cdot(\frac{3^n}{n^2 + 1}) \right] \\ \\ &= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2 + 2n + 2}{3n^2 + 3} \right) \\ \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

Dove $\frac{1}{3}\lt 1$, quindi la serie converge.

🟢 Criterio di leibniz

Prendiamo la serie di leibniz:

$$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \cdot \frac{1}{k}$$

Osserviamo la sua convergenza:

Allora il criterio di Leibniz ci dice che se la successione $(a_k)_{k \in \mathbb{N}}$ é decrescente e infinitesima, allora la serie:

$$s :=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \cdot a_k$$

Converge, e vale che $|s - s_n| \lt a_{n+1}$ per ogni $n \in \mathbb{N}$

🟠 Forme indeterminate dei limiti

Per poter dire che un limite converge/diverge ad un valore, dobbiamo evitare le forme indeterminate, cioè forme che non ci permettono di usare le regole dei limiti:

🟢 Tecniche di studio di convergenza

Applichiamo eventuali modifiche algebriche e poi applichiamo i vari criteri per poter raggiungere una conclusione sulla serie che stiamo considerando.

Per esempio, proviamo a risolvere:

$$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{k}$$

Possiamo modificare l'espressione cercando di portare le radici al denominatore:

$$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{k} &= \sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{k} \cdot \frac{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}{\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}} \\ &= \frac{(k + 1) - k}{k(\sqrt{k+1} + \sqrt{k})} \\ &= \frac{1}{k(\sqrt{k + 1} + \sqrt{k})} \end{aligned}$$

A questo punto possiamo utilizzare il criterio di confronto asintotico per $k \to \infty$ dove $\sqrt{k + 1} \approx \sqrt{x}$ Allora:

$$\sqrt{k+1} + \sqrt{k} \approx \sqrt k + \sqrt k = 2\sqrt k$$

Ottenendo quindi:

$$a_k = \frac{1}{k(\sqrt{k + 1} + \sqrt{k})} = \frac{1}{k(2\sqrt k)} = \frac{1}{2k^{\frac{3}{2}}}$$

Ora confrontiamole con le serie che già conosciamo, questa è una serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1$, e quindi questa serie converge. Per il criterio di confronto asintotico, anche la serie originale converge.